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\(P \frac{sen x}{cos^2 x + 7 cosx +10}\) com substitição \(t=cosx\)

Sabemos que \(sen x=\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-t^2}\)

Se \(t=cosx\) temos que \(x=arcos(t)\) e por conseguinte \(x'=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\)

Assim, substituindo temos:

\(P \frac{sen x}{cos^2 x + 7 cosx +10}=P\frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2+7t+10}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right)=-P\frac{1}{t^2+7t+10}=-P\frac{1}{(t+5)(t+2)}\)

Vamos agora separar em duas frações:

\(\frac{1}{(t+5)(t+2)}=\frac{A}{t+5}+\frac{B}{t+2}\)

Pela "regra do tapa" podemso concluir que \(A=-1/3\) e \(B=1/3\)

Assim

\(-P\frac{1}{(t+5)(t+2)}=-P\left(\frac{-1/3}{t+5}+\frac{1/3}{t+2}\right)=P\left(\frac{1/3}{t+5}-\frac{1/3}{t+2}\right)=\frac{1}{3}ln|t+5|-\frac{1}{3}ln|t+2|+C=ln\left|\sqrt[3]{\frac{t+5}{t+2}}\right|+C\)

Voltando a fazer a substituição \(t=cosx\)

Ficamos com o resultado final:

\(ln\left|\sqrt[3]{\frac{cos(x)+5}{cos(x)+2}}\right|+C\)

Volta sempre

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João Pimentel Ferreira
 
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