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Integral definida com denominador ao quadrado https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=9456 |
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Autor: | Caroline Medeiros [ 10 set 2015, 13:48 ] |
Título da Pergunta: | Integral definida com denominador ao quadrado |
Pessoal, não estou conseguindo resolver essa integral. Alguém ajuda? Obs: Tô me batendo p escrever a integral. Vou descrevê-la: ( Integral definida no intervalo de 3 à raiz de 10 de 2x^3 dividindo (x^2/2 - 4) ^2 \(\int_{3}^{\sqrt{10}}2x^{3}\div \left (x^{2}\div 2 \right \ \dotplus 4)^{2}\) |
Autor: | danpoi [ 10 set 2015, 18:25 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral definida com denominador ao quadrado |
OLa, Boa tarde A expresão \(\dfrac{2x^3}{(\dfrac{x^2}{2} - 4)^2}\) pode ser escrita sob uma otra forma : \(\dfrac{8x^3}{(x^2 - 8)^2}\) Asi que a integral es \(I = \displaystyle\int_{3}^{\sqrt{10}}{\dfrac{8x^3 dx}{(x^2-4)^2}}\) Agora poner \(x^2 - 4 = y\) de onde \(dy = 2xdx\) \(x^2 = y + 4\) e a integral I pode ser escrita como \(I = \displaystyle\int{\dfrac{8x^2\cdot xdx}{y^2}}= \displaystyle\int{\dfrac{4x^2\cdot 2xdx}{y^2}}= 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 4)dy}{y^2}}\) Al desenvolver \(I = 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 4)dy}{y^2}} = 4\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y}} + 16\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y^2} } = 4\log_{e}{y}- \dfrac{16}{y}\) O valor da integral é \(I = \left[4\log_{e}{|x^2 - 4|}- \dfrac{16}{x^2 - 4}\right]_{3}^{\sqrt{10}}= \left[4\log_{e}{(10-4)} - \dfrac{16}{10-4}\right]-\left[4\log_{e}{(9-4)} - \dfrac{16}{9-4}\right]\) Espero ajudar Danny |
Autor: | danpoi [ 10 set 2015, 18:34 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral definida com denominador ao quadrado |
OLa, Boa tarde A expresão \(\dfrac{2x^3}{(\dfrac{x^2}{2} - 4)^2}\) pode ser escrita sob uma otra forma : \(\dfrac{8x^3}{(x^2 - 8)^2}\) Asi que a integral es \(I = \displaystyle\int_{3}^{\sqrt{10}}{\dfrac{8x^3 dx}{(x^2-8)^2}}\) Agora poner \(x^2 - 8 = y\) de onde \(dy = 2xdx\) \(x^2 = y + 8\) e a integral I pode ser escrita como \(I = \displaystyle\int{\dfrac{8x^2\cdot xdx}{y^2}}= \displaystyle\int{\dfrac{4x^2\cdot 2xdx}{y^2}}= 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 8)dy}{y^2}}\) Al desenvolver \(I = 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 8)dy}{y^2}} = 4\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y}} + 32\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y^2} } = 4\log_{e}{y}- \dfrac{32}{y}\) O valor da integral é \(I = \left[4\log_{e}{|x^2 - 4|}- \dfrac{32}{x^2 - 4}\right]_{3}^{\sqrt{10}}= \left[4\log_{e}{(10-4)} - \dfrac{32}{10-4}\right]-\left[4\log_{e}{(9-4)} - \dfrac{32}{9-4}\right]\) Me disculpo, havia uma confusão, \(x^2-4\) com \(x^2 - 8\) A segunda versão é boa Espero ajudar Danny |
Autor: | Caroline Medeiros [ 10 set 2015, 19:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral definida com denominador ao quadrado |
Caramba, eu sabia que era pelo método da substituição, mas não imaginei que era tão complexa. E parece ser tão simples!!! Esqueci de postar a resposta. A que tenho aqui é ln(16)+16. Sua resposta dá no mesmo resultado? Muito obrigada mesmo. Você é um gênio (a)!!!! ![]() |
Autor: | danpoi [ 10 set 2015, 21:19 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral definida com denominador ao quadrado [resolvida] |
Aqui O A resposta \(I = \left[4\log_{2}{(x^2- 8)} - \dfrac{16}{x^2-8}\right]_{3}^{\sqrt{10}}\) A ver si a reposta é boa!! \(I = \left[4\log_{e}(10 - 8) - \dfrac{32}{10-8}\right] -\left[4\log_{e}(9-8)- \dfrac{32}{9-8}\right]\) \(I = (4\log_{e}{2} - 16) - (0 - 32) = \log_{e}{2^4} - 16 + 32 = \log_{e}{16} + 16\) Justo é \(\log_{e}{16} + 16\) Boa tarde Danny |
Autor: | Caroline Medeiros [ 11 set 2015, 00:51 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral definida com denominador ao quadrado |
Obrigada mesmo!! Através dessa resolução, consegui fazer outras semelhantes. Valeu!!! |
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