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Volumes de sólidos de revolução por integrais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=9459 |
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Autor: | LaBri [ 10 set 2015, 20:40 ] |
Título da Pergunta: | Volumes de sólidos de revolução por integrais |
Olá. É possível calcular o volume de um sólido escolhendo como intervalos de integração um número n=2 e o segundo limite ser +∞? Foi me dado um problema no qual a equação se apresentava na forma f(x)=y=1/x, no qual o primeiro limite era a reta x=2 e a região girava em torno do eixo Ox. Essa integral é divergente, portanto, como faria para achar o volume da região ? Ah, a região está definida no primeiro quadrante apenas. |
Autor: | Baltuilhe [ 11 set 2015, 00:48 ] |
Título da Pergunta: | Re: Volumes de sólidos de revolução por integrais |
Boa noite! Como se quer o volume de um sólido de revolução pode calcular a seguinte integral: \(\int_{a}^{b}\;{\pi\left[f(x)\right]^2}\mathrm{d}x\) No caso, o limite inferior vale 2 (reta x=2) e o superior vale + infinito. Como \(f(x)=\frac{1}{x}\), então: \(\int_{2}^{+\infty}\;{\pi\left(\frac{1}{x}\right)^2}\mathrm{d}x\Rightarrow \int_{2}^{+\infty}\;{\pi\cdot\frac{1}{x^2}}\mathrm{d}x \pi\int_{2}^{+\infty}\;{x^{-2}}\mathrm{d}x\Rightarrow \pi\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_{2}^{+\infty} \pi\left[\frac{-1}{x}\right]_{2}^{+\infty}\Rightarrow \pi\left(\frac{-1}{\infty}-\frac{-1}{2}\right) \pi\left(\frac{1}{2}\right)\Rightarrow \frac{\pi}{2}\) Acho que está certo! ![]() Espero ter ajudado! |
Autor: | LaBri [ 12 set 2015, 00:57 ] |
Título da Pergunta: | Re: Volumes de sólidos de revolução por integrais |
Eu não sabia que poderia se usar o limite superior como sendo +∞, visto que não se daria nem para calcular a área, já que a integral é divergente. Testei usando o método da divisão em fatias, pois essa função, ao sofrer revolução, forma um conjunto de esferas de raio 1/x que começam em x=2 e iam ate o infinito. Ficou assim: raio=1/x ,e então , Área da circunferência formada é: A=π.(1/x)^2 A=π/x^2 O intervalo de integração começa em x=2(reta) e eu experimentei um limite superior=5. Assim: \(\int_{2}^{5}(\pi/x^2).dx\) Resolvendo a integral e fazendo o limite superior cada vez maior, acho um valor aproximado e o arredondo. Este método está certo? Obrigado |
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