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| Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=9464 |
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| Autor: | Rosa [ 26 set 2015, 03:13 ] | ||
| Título da Pergunta: | Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração | ||
Pessoal, tenho que integrar uma função e tenha o resultado que quero chegar, no entanto não estou conseguindo desenvolver. Alguém consegue? Segue no ficheiro. Abs, Rosa.
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 Oct 2015, 21:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração |
Vou resolver em passos largos, espero que consiga acompanhar: Fazendo a substituição \(t=\phi_m(z)^{-1}=\sqrt[4]{1-\gamma_m\frac{z}{L}}\) temos: \(\int_{z_{0,m}}^{z}(1-\phi_m)\frac{dz}{z}=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}(1-\frac{1}{t})\frac{4t^3}{t^4-1}dt=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}\frac{4t^2}{(t+1)(t^2+1)}dt=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}\frac{2}{t+1}+\frac{2t}{t^2+1}-\frac{2}{t^2+1}dt=\left\[\ln((1+t)^2)+\ln(1+t^2)-\arctan(t)\right\]_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}\) Creio que a partir daqui consegue chegar ao resultado final. |
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| Autor: | Rosa [ 26 Oct 2015, 17:21 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração | ||
Oi Rui Carpentier, eu não consegui acompanhar sua solução na 1a etapa quando faz a substituição, ou seja, a parte da figura em anexo. Vc poderia fazer essa parte em detalhes por favor?
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| Autor: | Rui Carpentier [ 26 Oct 2015, 22:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração |
Cara Rosa, não sei se está recordada da fórmula de integração por substituição mas esta diz-nos que podemos calcular o valor duma integral \(\int_a^bf(x)dx\) recorrendo à substitutição da variável de integração \(x\) por outra relacionada com esta \(t=\varphi (x) (\Leftrightarrow x=\varphi^{-1} (t))\) através da fórmula: \(\int_a^bf(x)dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(\varphi^{-1} (t))(\varphi^{-1} (t))'dt\) No caso em estudo estamos a tomar a substituição \(t=\phi_m(z)^{-1}=\sqrt[4]{1-\gamma_m\frac{z}{L}}\) no intergral \(\int_{z_{0,m}}^{z}(1-\phi_m)\frac{dz}{z}\), portanto \((1-\phi_m(z))=\left(1-\frac{1}{\phi_m(z)^{-1}}\right)=1-\frac{1}{t}\), \({z}={\frac{L}{\gamma_m}(t^4-1)}\) e \(dz=\frac{L}{\gamma_m}(t^4-1)'dt=\frac{L}{\gamma_m}4t^3dt\) logo: \(\int_{z_{0,m}}^{z}(1-\phi_m)\frac{dz}{z}=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}(1-\frac{1}{t})\frac{\frac{L}{\gamma_m}4t^3dt}{\frac{L}{\gamma_m}(t^4-1)}=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}(1-\frac{1}{t})\frac{4t^3}{t^4-1}dt\) Espero ter ajudado. |
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| Autor: | Rosa [ 27 Oct 2015, 14:21 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração | ||
Oi Rui, muito obrigada pelos detalhes, mas ficou uma dúvida...
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