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| Cálculo de taxa de variação https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=9636 |
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| Autor: | Jow [ 10 Oct 2015, 02:07 ] |
| Título da Pergunta: | Cálculo de taxa de variação |
Pela Ruptura de um navio tanque uma mancha de óleo espalha-se em forma de um circulo cuja area cresce a uma taxa constante de 4Km^2/h. Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 16Km^2? |
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| Autor: | danjr5 [ 12 Oct 2015, 15:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de taxa de variação |
Do enunciado tiramos as seguintes informações: \(\begin{cases} \frac{dA}{dt} = 4\frac{km^2}{h} \\\\ \frac{dr}{dt} = \\\\ A = 16 \; km^2\end{cases}\) Sabemos que a área de um círculo é dada por \(A = \pi r^2\). Derivando em relação \(t\), \(A = \pi r^2\) \(\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}\) Sabendo que a área vale 16, devemos encontrar o raio... \(A = \pi r^2\) \(16 \; km^2 = \pi r^2\) \(r^2 = \frac{16 \; km^2}{\pi}\) \(r = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \; km\) \(r = \frac{4\sqrt{\pi}}{\pi} \; km\) Daí, \(\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}\) \(4 \frac{km^2}{h} = 2\pi \cdot \frac{4\sqrt{\pi}}{\pi} \; km \cdot \frac{dr}{dt}\) \(\frac{km}{h} = 2 \cdot \sqrt{\pi} \cdot \frac{dr}{dt}\) \(\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \frac{km}{h}\) \(\fbox{\frac{dr}{dt} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} \frac{km}{h}}\) |
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