Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\large \int_{0}^{\pi /2}\left | sen(x)-cos(2x) \right |dx\)

Se resolver a equação \(\sin x - \cos (2x)=0\), verá que a única solução viável é \(\sin x = 1\), o que no intervalo de integração considerado apenaas ocorreria em \(x = \pi/2\). Vê assim que a expressão no interior do módulo é sempre negativa nesse intervalo, pelo que

\(\int_0^{\pi/2}|\sin x - \cos (2x)| dx = \int_0^{\pi/2}(-\sin x + \cos (2x)) dx\).

\(0\lt \frac{\pi }{4}\lt \frac{\pi }{2}\)
mas
\(sin(\frac{\pi}{4})-cos(2\cdot \frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}-0> 0\)

\(f(x)=sin(x)-cos(2x)=2sin^2(x)+sin(x)-1\)

\(f(x)=0 \Leftrightarrow sin(x)=\frac{1}{2}\ \vee\ sin(x)=-1\)

\(0< x< \frac{\pi}{2}\Rightarrow f'(x)>0\Rightarrow\)

\(x\in [0,\frac{\pi}{6})\Rightarrow f(x)<0\)

\(x\in (\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]\Rightarrow f(x)>0\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}|sin(x)-cos(2x)|dx=\int_0^{\frac{\pi}{6}}(-sin(x)+cos(2x))dx+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(sin(x)-cos(2x))dx\)

Tem toda a razão skaa, obrigado pela correcção. Errei a solução da equação do segundo grau!