Boa noite!

Pensei em outra substituição:
\(u=1+e^x
\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x
\mathrm{d}u=(u-1)\mathrm{d}x
\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u-1}\)

Então:
\(\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}\mathrm{d}x=\int \frac{\left(e^x\right)^2}{1+e^x}\mathrm{d}x
\int \frac{\left(u-1)^2}{u}\frac{\mathrm{d}u}{u-1}=\int \frac{u-1}{u}\mathrm{d}u
\int\left(1-u^{-1}\right)\mathrm{d}u=u-ln|u|+C=1+e^x-ln|1+e^x|+C\)

Espero ter ajudado!

Retomando a expressão que obteve,
\(\int \dfrac{e^{2 \ln t}}{1+e^{\ln t}} \cdot \frac 1t dt = \int \dfrac{t^2}{1+t} \cdot \frac 1t dt= \int \frac{t}{1+t} dt =\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right) dt =t-\ln|1+t|+C
=e^x - \ln(e^x+1) + C\)