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Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar a resolver essa integral



De preferência passo a passo para que possa compreender.

Usando a propriedade de integrais temos:

\(\int \frac{2x^{4}e^{x^{3}+1}-e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}dx=\underbrace{\int \frac{2x^{4}e^{x^{3}+1}}{x^{2}}dx}-\underbrace{\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}dx}\)

Resolvendo separadamente vem:
-Primeira parte:

\(\int\frac{2x^{4}e^{x^{3}+1}}{x^{2}}dx=\int{2x^{2}e^{x^{3}+1}}dx\) , usando substituição temos \(u=x^{3}+1\) e \(du=3x^{2}\)

=\(\int \frac{2}{3}e^{u}du=\frac{2}{3}e^{u}=\underbrace{\frac{2}{3}e^{x^{3}+1} +c}\)

-Segunda parte:

\(\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}dx\),usando novamente substituição agora com \(v=\frac{1}{x}\) e \(dv=-\frac{1}{x^{2}}\)

=\(\int- e^{v}dv=-e^{v}=\underbrace{-e^{\frac{1}{x}} +c}\)

Agora que calculamos as duas integrais separadamente basta subtrai-las. Portanto:

\(\int \frac{2x^{4}e^{x^{3}+1}-e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}dx= \frac{2}{3}e^{x^{3}+1} + e^{\frac{1}{x}} +c\)

Espero que tenha ajudado!