Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta:

[IVO]

olá,
alguém pode me ajudar nessa demonstração ?
Demostre que distribuição Binomial é uma legítima distribuição de probabilidade discreta:

desde já, grato !!!

[Sobolev]

Tem apenas que verificar que, no caso da distribuição binomial de parâmetro n , k, se tem

\(P(X = i) \ge 0, \quad i = {0}, \cdots, n
P(X=0)+P(X=1) + \cdots + P(X=n) = {1}\)

[IVO]

Tem apenas que verificar que, no caso da distribuição binomial de parâmetro n , k, se tem

\(P(X = i) \ge 0, \quad i = {0}, \cdots, n
P(X=0)+P(X=1) + \cdots + P(X=n) = {1}\)

como faço isso ?

[Sobolev]

No caso de uma binomial de parâmetros n,p tem que

\(P(X=k) = \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}\)

Como \(0 \leq p \leq 1\), tem que \(p \ge 0, (1-p) \ge 0\) e além disso \(~^n C_k >0\). Assim, a positividade está garantida, isto é, \(P(X=k) \ge 0, \quad k=0, \cdots, n\). De seguida temos que ver que a soma de todas as probabilidades soma 1, isto é, que

\(\sum_{k=0}^n P(X=k)=1 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1\)

Consegue prosseguir? Tente demonstrar por indução em n.

[IVO]

No caso de uma binomial de parâmetros n,p tem que

\(P(X=k) = \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}\)

Como \(0 \leq p \leq 1\), tem que \(p \ge 0, (1-p) \ge 0\) e além disso \(~^n C_k >0\). Assim, a positividade está garantida, isto é, \(P(X=k) \ge 0, \quad k=0, \cdots, n\). De seguida temos que ver que a soma de todas as probabilidades soma 1, isto é, que

\(\sum_{k=0}^n P(X=k)=1 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1\)

Consegue prosseguir? Tente demonstrar por indução em n.

No caso de uma binomial de parâmetros n,p tem que

\(P(X=k) = \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}\)

Como \(0 \leq p \leq 1\), tem que \(p \ge 0, (1-p) \ge 0\) e além disso \(~^n C_k >0\). Assim, a positividade está garantida, isto é, \(P(X=k) \ge 0, \quad k=0, \cdots, n\). De seguida temos que ver que a soma de todas as probabilidades soma 1, isto é, que

\(\sum_{k=0}^n P(X=k)=1 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1\)

Consegue prosseguir? Tente demonstrar por indução em n.

Obrigado Sobolev, mas eu não consigo imaginar essa solução, vc pode me ajudar um pouco mais nesse passo ?
Att,

[Sobolev]

Numa prova por indução tem que estabelecer que certo resultado é válido para determinado número natural \(n_0\) e que, se for válido para um certo \(n> n_0\) também será válido para \(n+1\). Deste modo mostra que o resultado vale para qualquer \(n \ge n_0\). (Obs. normalmente \(n_0=1\)).

Vejamos então este caso concreto:

1. Mostrar que o resultado é válido quando n=1, isto é, que \(\sum_{k=0}^1 \left(\begin{array}{c} 1\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{1-k} = 1\).

\(\sum_{k=0}^1 \left(\begin{array}{c} 1\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{1-k} = \left(\begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) p^0 (1-p)^1 + \left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right) p^1 (1-p)^0 = p + (1-p) = 1\)

2. Mostrar que \(\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1 \Rightarrow \sum_{k=0}^{n+1} \left(\begin{array}{c} n+1\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n+1-k} = 1\).

O processo é simples de seguir, pode ver por exemplo em http://www.pmean.com/12/negbin.html.

[IVO]

ahhh, to entendendo, mas porque eu tenho que fazer isso ?

Tem apenas que verificar que, no caso da distribuição binomial de parâmetro n , k, se tem

\(P(X = i) \ge 0, \quad i = {0}, \cdots, n
P(X=0)+P(X=1) + \cdots + P(X=n) = {1}\)

[FernandoMartins]

IVO

Se tem de provar que é uma f.d.p discreta, então tem de demonstrar 2as coisas: que é uma função discreta (que é trivial pela construção da dist. binomial), e que é uma função massa de probabilidade (consulte a definição probabilidade (https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade_de_Axiomas)) i.e. que verifica os axiomas de Kolmogorov.

:∇: