Calculo de probabilidade de altura

[Jow]

A altura que atinge um determinado tipo de planta que cresce sob determinadas condições, segue uma distribuição uniforme com média 80 cm e desvio padrão 4cm. Qual a probabilidade de uma planta deste tipo obter uma altura de até 75cm?

[Sobolev]

Numa distribuição uniforme os parâmetros relevantes são os extremos do intervalo [a,b]. Além disso, a média é dada por \((a+b)/2\) e o desvio padrao por \((b-a)/\sqrt{12}\). Neste caso sabemos que

\(\frac{a+b}{2}=80
\frac{b-a}{\sqrt{12}}=4\)

Da primeira equação retira que \(b = 160 - a\), substituindo na segunda equação,

\(160-a -a = 4 \sqrt{12} \Leftrightarrow a = 80 - 2 \sqrt{12}\)

Trata-se pois de uma distribuição uniforme no intervalo \([80-2 \sqrt{12}, 80 + 2 \sqrt{12}].\), cuja função densidade de probabilidade é constante e igual a \(\frac{1}{4 \sqrt{12}}\).

\(P(X \leq 75) = \int_{80-2\sqrt{12}}^{75} \frac{1}{4 \sqrt{12}} dx = (75 - (80-2\sqrt{12})) \times \frac{1}{4 \sqrt{12}} \approx 0.139156\)