Probabilidade duas pessoas colocar 4 peças ao acaso no tabuleiro de xadrez

[pauloldk]

Este problema foi retirado do livro "Probabilidades" de Melvin Cymbalista, problema 23, página 20. 1974.
Duas pessoas se submetem independentemente ao experimento de colocar ao acaso 4 peças sobre as casas pretas não laterais de um tabuleiro de xadrez. Calcular a probabilidade de que haja coincidência entre exatamente duas casas escolhidas.
A resposta dada no livro é 0,178, mas não sei como chegar até este valor.

[otavio.dn]

Eu tentei enxergar o problema de uma outra forma para que eu pudesse visualizar com mais facilidade as contas que deveriam ser feitas.
Assim, sabendo que as peças devem ser colocadas em casas pretas não laterais, temos um tabuleiro 'reduzido' 6x6. E como metade das casas são pretas, os jogadores devem escolher 4 dentre 18 casas pretas para colocarem suas peças.

O que eu pensei foi enumerar essas casas de 1 a 18, e cada jogador então deve escolher 4 números de 1 a 18, e o que exercício quer determinar é a probabilidade desses jogadores escolherem 2 números iguais.

Imagine que o primeiro jogador escolha os números N1, N2, N3 e N4, todos distintos e entre 1 e 18. Agora, o jogador 2 irá escolher quatro números X1, X2, X3 e X4, todos distintos e entre 1 e 18, de forma que cada um de dois Xi sejam iguais a algum Nj.
Como parte da solução, devemos escolher quais Xi serão iguais ou diferentes dos Nj (no problema inicial, isso equivaleria a dizer quais das 4 peças, que o jogador 2 irá colocar no tabuleiro, estarão em casas coincidentes com alguma peça do jogador 1). Para esta escolha, temos 6 opções diferentes (escolher 2 Xi dentre 4 para serem iguais, ou escolher 2 Xi dentre 4 para serem diferentes).

Para uma destas escolhas, imagine X1 igual a algum Nj, X2 igual a algum Nk (j!=k), X3 diferente de todos Nj, e X4 diferente de todos Nj, a chance de isto ocorrer é dada por:
\(\frac{4}{18}\cdot \frac{3}{17}\cdot \frac{14}{16}\cdot \frac{13}{15}=\frac{91}{3060}\)
Onde 4/18 é a probabilidade de X1 ser igual a algum Nj (são 4 números possíveis dentre 18);
3/17 é a probabilidade de X2 ser igual a algum Nk (j!=k) (sobraram 3 Nj possíveis, dentre 17 números possíveis);
14/16 é a probabilidade de X3 ser diferente dos Nj restantes (sobraram 2 Nj, 14 números diferentes dentre 16 possíveis);
e finalmente 13/15 é a probabilidade de X4 ser diferente dos Nj restantes.

Observe que se fizermos as mesmas contas para as outras 5 opções possíveis (e.g. X1 diferente, X2 igual, X3 igual, X4 diferente), todas deverão resultar nos mesmos produtos, apenas com as ordens dos fatores trocadas.
Assim nosso resultado final deve ser:
\(\frac{61}{3060}\cdot 6=\frac{91}{510}\approx 0,178\)
Pois para cada uma das 6 opções de Xi iguais ou diferentes a Nj temos 91/3060 de probabilidade de obtermos 2 Xi iguais a 2 Nj.

[otavio.dn]

Eu tentei enxergar o problema de uma outra forma para que eu pudesse visualizar com mais facilidade as contas que deveriam ser feitas.
Assim, sabendo que as peças devem ser colocadas em casas pretas não laterais, temos um tabuleiro 'reduzido' 6x6. E como metade das casas são pretas, os jogadores devem escolher 4 dentre 18 casas pretas para colocarem suas peças.

O que eu pensei foi enumerar essas casas de 1 a 18, e cada jogador então deve escolher 4 números de 1 a 18, e o que exercício quer determinar é a probabilidade desses jogadores escolherem 2 números iguais.

Imagine que o primeiro jogador escolha os números N1, N2, N3 e N4, todos distintos e entre 1 e 18. Agora, o jogador 2 irá escolher quatro números X1, X2, X3 e X4, todos distintos e entre 1 e 18, de forma que cada um de dois Xi sejam iguais a algum Nj.
Como parte da solução, devemos escolher quais Xi serão iguais ou diferentes dos Nj (no problema inicial, isso equivaleria a dizer quais das 4 peças, que o jogador 2 irá colocar no tabuleiro, estarão em casas coincidentes com alguma peça do jogador 1). Para esta escolha, temos 6 opções diferentes (escolher 2 Xi dentre 4 para serem iguais, ou escolher 2 Xi dentre 4 para serem diferentes).

Para uma destas escolhas, imagine X1 igual a algum Nj, X2 igual a algum Nk (j!=k), X3 diferente de todos Nj, e X4 diferente de todos Nj, a chance de isto ocorrer é dada por:
\(\frac{4}{18}\cdot \frac{3}{17}\cdot \frac{14}{16}\cdot \frac{13}{15}=\frac{91}{3060}\)
Onde 4/18 é a probabilidade de X1 ser igual a algum Nj (são 4 números possíveis dentre 18);
3/17 é a probabilidade de X2 ser igual a algum Nk (j!=k) (sobraram 3 Nj possíveis, dentre 17 números possíveis);
14/16 é a probabilidade de X3 ser diferente dos Nj restantes (sobraram 2 Nj, 14 números diferentes dentre 16 possíveis);
e finalmente 13/15 é a probabilidade de X4 ser diferente dos Nj restantes.

Observe que se fizermos as mesmas contas para as outras 5 opções possíveis (e.g. X1 diferente, X2 igual, X3 igual, X4 diferente), todas deverão resultar nos mesmos produtos, apenas com as ordens dos fatores trocadas.
Assim nosso resultado final deve ser:
\(\frac{61}{3060}\cdot 6=\frac{91}{510}\approx 0,178\)
Pois para cada uma das 6 opções de Xi iguais ou diferentes a Nj temos 91/3060 de probabilidade de obtermos 2 Xi iguais a 2 Nj.

Na última fração que eu escrevi, deveria ser 91/3060 * 6, ao invés de 61/3060 * 6.