Análise combinatória, aperto de mãos.

[Conrado Junior]

Alguém pode me ajudar com essa questão.

Em uma sala há x homens e 8 mulheres. Os homens cumprimentam se entre si e cumprimentam todas as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si. Houve 50 cumprimentos. Quantos homens haviam na sala?

[pedrodaniel10]

Cada mulher vai cumprimentar x homens (=ou cada homem vai cumprimentar 8 mulheres). Pelo que existe 8x cumprimentos (entre homens e mulheres). Como cada homem se cumprimenta entre si, no caso imaginemos x=5. Temos 4+3+2+1 cumprimentos. Que equivale:

\(\sum_{n=1}^{x}(x-n)\)

Assim temos a equação:
\(8x+\sum_{n=1}^{x}(x-n)=50\Rightarrow 8x+\frac{x(x-1)}{2}=50\)

Onde vem como solução positiva \(x=5\)