probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro

[liliana.pereira]

Um grupo de 6 mulheres e 3 homens está disposto, aleatoriamente, em fila. Qual é a probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro?

Obrigada

[rodriguinhogba]

Um grupo de 6 mulheres e 3 homens está disposto, aleatoriamente, em fila. Qual é a probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro?

Obrigada

Permutação com repetição

O número total de maneiras possíveis como essa fila poderia estar seria \(\frac {9!}{6!3!}=84\)

Os casos em que dois homens apareceriam ao lado
\(\frac {8!}{6!}=56\)

Probabilidade

\(P= \frac {n (Casos favoraveis)}{n (Casos Possiveis)\)

\(P=\frac {56}{84}\)

\(P=\frac {2}{3}\) em que apareceriam 2 homens

Logo a probabilidade de não aparecer será \(\frac {1}{3}\)


Acho que a resposta seria \(\frac {1}{3}\)

[liliana.pereira]

Obrigada rodriguinhogba, mas a solução é 5/12. Preciso de ajuda para lá chegar. Consegues?

[Rui Carpentier]

Como já foi dito

O número total de maneiras possíveis como essa fila poderia estar seria
\({9\choose 3}=84\)

Não sei por que carga de água é que

[O número de] casos em que dois homens apareceriam ao lado [é] \(\frac{8!}{6!}=56\)

Mas sei que pôr três homens numa fila de nove sem estarem dois lado a lado é o mesmo que pôr os três numa fila de sete e juntar depois uma mulher entre cada um do dois intervalos entre eles (exemplo MHHMMHM --> MHMHMMMHM). Assim sendo, o número de casos possíveis de por três homens na fila sem estarem dois lado a lado é \({7\choose 3}=35\)

Portanto a probabilidade pedida é \(\frac{35}{84}=\frac{5}{12}\).

[liliana.pereira]

Muito obrigada Rui Carpenter. Conseguiste chegar ao resultado. No entanto, eu agradecia que me explicasses melhor a tua resolução.

porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis?

E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3.

Obrigada e bom ano!!

[Rui Carpentier]

porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis?

Obtei por considerar os homens todos iguais e as mulheres também todas iguais. A solução é a mesma porque tanto os casos favoráveis como os casos possíveis diferem pelo factor \(3!\times 6!\), ou seja
nº de casos possíveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({9\choose 3}\)
nº de casos possíveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({9\choose 3}\times 3!\times 6!\)

e

nº de casos favoráveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({7\choose 3}\)
nº de casos favoráveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({7\choose 3}\times 3!\times 6!\)

E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3.

Vamos considerar um exemplo mais pequeno. Suponhamos que queremos determinar o nº de palavras de letras A e B com três A's e três B's de modo que não haja dois A's lado a lado. É fácil ver que as soluções são:
ABABAB
ABABBA
ABBABA
BABABA
Estas podem ser obtidas determinando as palavras com três A's e um B (combinações 4 a 3) e juntando os restantes dois B's entres os A's:
AAAB --> ABABAB
AABA --> ABABBA
ABAA --> ABBABA
BAAA --> BABABA
Em geral se pretendemos determinar o nº de palavras com n A's e k B's em que não haja dois A's lado a lado o que fazemos é tirar n-1 B's (para tal é necessário que \(k\geq n-1\)) e determinar o nº de combinações possíveis k+1 lugares disponíveis para colocar n A's (o que dá \({k+1\choose n}\)) e depois colocar cada par de A's um B (por exemplo AABBABA --> ABABBBABBA).
Foi isto que fiz para o calculo do nº de caso favoráveis (3 homens e 6 mulheres dá \({7\choose 3}\) maneiras possíveis de colocar os 3 homens em fila sem estarem dois lado a lado).

[liliana.pereira]

Muito obrigada Rui Carpentier! Nunca tinha aprendido a resolver exercícios dessa forma, mas consegui perceber.

Obrigada e bom ano!!

[rodriguinhogba]

porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis?

Obtei por considerar os homens todos iguais e as mulheres também todas iguais. A solução é a mesma porque tanto os casos favoráveis como os casos possíveis diferem pelo factor \(3!\times 6!\), ou seja
nº de casos possíveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({9\choose 3}\)
nº de casos possíveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({9\choose 3}\times 3!\times 6!\)

e

nº de casos favoráveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({7\choose 3}\)
nº de casos favoráveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({7\choose 3}\times 3!\times 6!\)

E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3.

Vamos considerar um exemplo mais pequeno. Suponhamos que queremos determinar o nº de palavras de letras A e B com três A's e três B's de modo que não haja dois A's lado a lado. É fácil ver que as soluções são:
ABABAB
ABABBA
ABBABA
BABABA
Estas podem ser obtidas determinando as palavras com três A's e um B (combinações 4 a 3) e juntando os restantes dois B's entres os A's:
AAAB --> ABABAB
AABA --> ABABBA
ABAA --> ABBABA
BAAA --> BABABA
Em geral se pretendemos determinar o nº de palavras com n A's e k B's em que não haja dois A's lado a lado o que fazemos é tirar n-1 B's (para tal é necessário que \(k\geq n-1\)) e determinar o nº de combinações possíveis k+1 lugares disponíveis para colocar n A's (o que dá \({k+1\choose n}\)) e depois colocar cada par de A's um B (por exemplo AABBABA --> ABABBBABBA).
Foi isto que fiz para o calculo do nº de caso favoráveis (3 homens e 6 mulheres dá \({7\choose 3}\) maneiras possíveis de colocar os 3 homens em fila sem estarem dois lado a lado).

Essa forma de calcular é interessante nunca vi tbm essa forma...

Não entendi o porque de usar combinação?

E desculpa ai pelo meu erro não sou muito bom em análise combinatória e probabilidade...

[rodriguinhogba]

Como já foi dito

O número total de maneiras possíveis como essa fila poderia estar seria
\({9\choose 3}=84\)

Não sei por que carga de água é que

[O número de] casos em que dois homens apareceriam ao lado [é] \(\frac{8!}{6!}=56\)

Mas sei que pôr três homens numa fila de nove sem estarem dois lado a lado é o mesmo que pôr os três numa fila de sete e juntar depois uma mulher entre cada um do dois intervalos entre eles (exemplo MHHMMHM --> MHMHMMMHM). Assim sendo, o número de casos possíveis de por três homens na fila sem estarem dois lado a lado é \({7\choose 3}=35\)

Portanto a probabilidade pedida é \(\frac{35}{84}=\frac{5}{12}\).

Seria mais fácil pensar da seguinte forma o número total de permutações era \(\frac{9!}{3!.6!}=84\)

Calculando o numero em que os 3 homens aparecem juntos da \(\frac {7!}{6!}=7\)

Agora calculando as permutações (HH)HMMMMMM \(\frac {8!}{6!}=56\)

Só que aqui eu estaria contando 2 vezes em que aparecem 3 homens então subtraio 56-7= 49

Aqui eu teria as permutações de 2 e tres homens juntos que dava 49 e quando aparecem 3 homens juntos eu tenho dois homens ao lado um do outro.

Agora se 84 é o total, 84-56 =35 é o que n tem homens do lado um do outro

Logo a probabilidade seria \(\frac {35}{84}= \frac {5}{12}\)