Probabilidades - Distribuição de Poisson

[everaldojunior]

Os aparelhos de certa fabricação possuem, em média 1.6 defeitos cada. Se o fabricante paga uma indenização de $10,00 por aparelho com mais de 2 defeitos, quanto representa a longo prazo essa indemnização no custo de cada aparelho?

[josesousa]

E não dizem nada sobre a distribuição?

[FernandoMartins]

A distribuição de probabilidades de uma v.a. X que mede uma quantidade que ocorre em média \(\lambda\) num dado período (ou área, ou parte de algum objecto) segue uma distribuição de Poisson(\(\lambda\)).

A partir deste pressuposto, caso seja necessária uma mudança de escala (alteração do período, ou área, ou parte) para t vezes (ou partes), então a v.a. alterada (ou transformada) segue uma distribuição de Poisson(\(\lambda\)t).

Por ex.: (http://www.proteccaocivil.pt/RISCOSVULN ... ental.aspx)

O número médio de incêndios registado anualmente em Portugal Continental, para o período de 1999 a 2008, é cerca de 24.937.

Consideremos, X = v.a. que mede o n.º anual de incêndios em Portugal Continental, para o período de 1999 a 2008.
Tem-se, \(X\sim Poisson(24937)\). (Observe-se que este período - anual - é assumido para t=1).

Então,
se Y = v.a. que mede o n.º trianual de incêndios em Portugal Continental, para o período de 1999 a 2008
e se W = v.a. que mede o n.º trimestral de incêndios em Portugal Continental, para o período de 1999 a 2008.

tem-se que,
\(Y\sim Poisson(24937*3)=Poisson(74811)\), e
\(W\sim Poisson(24937*1/4)=Poisson(6234.25)\)

[FernandoMartins]

1- Os aparelhos de certa fabricação possuem, em média 1,6 defeitos cada. Se o fabricante paga uma indenização de $10,00 por aparelho com mais de 2 defeitos, quanto representa a longo prazo essa indenização no custo de cada aparelho?

Se assumirmos que:
X = v.a. que mede o número de defeitos num aparelho ao acaso em que esse valor médio é 1,6

g(X) = função Custo de indemnização por # de defeitos com \(g\left ( X \right )=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & n\\ 0 & 0 & 0 & 10 & 10 \end{pmatrix}\)

Tem-se que, \(X\sim Poisson(1.6)\) , com a função massa de probabilidade \(f\left ( k \right )=e^{-1.6}\frac{1.6^{k}}{k!}\)

Então, o valor médio do Custo, como função da v.a. X, será:

\(E\left ( g\left ( X \right ) \right )=\sum_{j=1}^{\infty } g\left ( j \right )f\left ( j \right )=\sum_{j=1}^{\infty } g\left ( j \right )P\left ( X=j \right )=\sum_{j=1}^{\infty }g\left ( j \right )e^{-1.6}\frac{1.6^{j}}{j!}=
=g\left ( 0 \right )\times P\left ( X=0 \right )+g\left ( 1 \right )\times P\left ( X=1 \right )+g\left ( 2 \right )\times P\left ( X=2 \right )+g(n)\times P\left ( X>2 \right )=10\times P\left ( X>2 \right )=10\times\left (1-P\left ( X\leq 2 \right )\right )=\)
\(=10-10\left ( e^{-1.6}\frac{1.6^{0}}{0!}+e^{-1.6}\frac{1.6^{1}}{1!}+e^{-1.6}\frac{1.6^{2}}{2!} \right )=10-10\times e^{-1.6}\left ( 1+1.6+\frac{1.6^{2}}{2} \right )\)