Questão Probabilidade - Prova UFPR

[Sergio]

Olá! Qual a forma de resolução da seguinte questão:

"Sorteando cinco pessoas ao acaso em um grupo de seis mulheres e três homens, a probabilidade de se obter um grupo com pelo menos um homem é?"

Obrigado.

[Fraol]

Boa noite,

Penso que usando a probabilidade complementar é um caminho mais simples. Isto é:

A probabilidade de se obter um grupo com pelo menos um homem é a

Probabilidade Total = 1

menos a

Probabilidade de termos 5 mulheres no grupo = \(\frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{21}\)

Então a probabilidade pedida é \(1 - \frac{1}{21} = \frac{21}{21} - \frac{1}{21}\)

[Sergio]

Boa noite,

Penso que usando a probabilidade complementar é um caminho mais simples. Isto é:

A probabilidade de se obter um grupo com pelo menos um homem é a

Probabilidade Total = 1

menos a

Probabilidade de termos 5 mulheres no grupo = \(\frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{21}\)

Então a probabilidade pedida é \(1 - \frac{1}{21} = \frac{21}{21} - \frac{1}{21}\)

[Sergio]

Ok fraol, entendi o raciocínio...obrigado!

[FernandoMartins]

Se me permitem, posso complementar com o seguinte:

Com X= v.a. que mede o # de homens numa sequência de 5 extracções independentes sem reposição do grupo inicial.
Esta v.a. segue dist. Hipergeométrica, pelo que, também se pode calcular a probabilidade recorrendo a esta dist.;
ou de outra forma ainda mais simples, \(P(X=0)=\frac{\binom{6}{5}}{\binom{9}{5}}\)
São várias as soluções entre as mais usadas, para este tipo de problema (Problemas de Urnas com Bolas pretas e brancas e extracções de Bernoulli sem reposição).