Probabilidades - Bolas brancas e pretas - Função probabilidade e Valor Esperado

[marcosyrht]

Estou precisando de ajuda para resolver a seguinte questão:
Grupo III

Uma caixa contém 2 bolas brancas e 2 bolas pretas. Extrai-se uma bola da caixa. Se a bola for branca, além de recolocá-la na caixa, adiciona-se uma bola branca à caixa. Se é preta, ela é recolocada na caixa. Definamos a variável aleatória X e Y como o número de bolas brancas e pretas extraídas, respetivamente.

7. Determine o espaço amostral do experimento.

8. Calcule a função de densidade da variáveis aleatórias X e Y.

9. Calcule E(X), var(X), E(Y), var(Y), cov(X Y), E(X + Y) e var(X + Y).

[npl]

Uma pergunta por Post...

o espaço amostral dos resultados(m.q. Universo!?)é o conjunto de pares de números inteiros,
no qual o primeiro número representa as vezes que uma bola branca foi extraída e o segundo número as vezes que uma bola preta foi extraída.

[marcosyrht]

E quanto a questão de :Calcule a função de densidade da variáveis aleatórias X e Y.

Calcule E(X), var(X), E(Y), var(Y), cov(X Y), E(X + Y) e var(X + Y).

[FernandoMartins]

E quando é que a experiência aleatória pára? Isto, é, quantas são as extracções aleatórias? Ou a experiência decorre em infinitas extracções?

[marcosyrht]

Apenas um sorteio

[FernandoMartins]

Isto não me faz sentido!

[marcosyrht]

Depois de muita luta conseguir responder :
Solução:







 = ( b,b),( b,P), (P,P), (p,b)
EXTRAÇÕES PROBABILIDADE

PP 2/4 . 2/4 4/16
PB 2/4 . 2/4 4/16
BP 2/4 . 2/5 4/20
BB 2/4 . 3/5
6/20


X = Nº DE BOLAS BRANCAS
 x = 0  =  p p = 1/4
 x= 1  = p b   b p = 9/20
 x = 2  = b b = 3/10
f_x( 0 ) = p ( x=0 ) = 4/16 = 1/4
f_(x )( 1 ) = p ( x=1) = 4/20 + 4/16 = 9/20
f_x ( 2 ) = p ( x=2 ) = 6/20 = 3/10

x 0 1 2
P_x(x) 4/16 4/16 + 4/20 6/20

E( x ) = ∑_1^3▒X . P_X(x) = 1. ( 4/16 + 4/20 ) + 2. ( 6/20 )
= 21/20
Y = Nº DE BOLAS PRETAS
 y = 0  =  bb 
 y = 1  =  pb  ∪  bp 
Y = 2  =  pp 

y 0 1 2
P_(y(Y)) 6/20 4/(16 ) +4/20 4/16

E( y ) = ∑_1^3▒X . P_y(y) = 1. ( 4/16 + 4/20 ) + 2. ( 4/( 16) )
= 36/80 + 8/(16 ) = 76/80 = 19/20

Var(x) = = ∑_( i=1)^3▒ . ( x_i- E x )² . p ( x= x_i )
= ( 0 – E (x) ² . p ( x = 0 ) + ( 1 – E (x) )² . p (x = 1 ) + ( 2 – E(X) )² . p ( x= 2 )

Var ( y ) = ( 0 – E (y) ² . p ( y = 0 ) + ( 1 – E (y) )² . p (y = 1 ) + ( 2 – E(y) )² . p ( y= 2 )
E( x + y ) = ( 21/20 + 19/20 ) = 40/20 = 2

Var ( x + y) =  ( 0 – 21/20 )² . 1/4 + ( 1 - 21/20 )² . 1/9 +( 2. 21/20 )² . 3/10  +

 ( 0 – 19/20 )² . 3/10 + ( 1 - 19/20 )² . 1/9 +( 2.19/20 )² . 1/( 4)  =

 361/400 . 3/10 + ( (1 )/20 )² . 1/9 +( ( 38 )/20 )² . 1/( 4) 
 1083/4000 + (1 )/400 . 1/9 + ( 1444 )/400 . 1/( 4) 
 1083/4000 + (1 )/( 3600) + ( 1444 )/1600 

( 38988+40+129960 )/( 144000) = 1,18



Cov(X,Y) = E [ ( X- E(X) ) (Y- E(Y) ) ]

= E [ ( 2- 21/20 ) (2- 19/20 ) ]
= E [ ( 40/20- 21/20 ) ((40 )/20- 19/20 ) ]
= E [ ( 19/20) ( 21/20 ) ]
= E [ 399/400]
= E = 0,9975 = 1

[FernandoMartins]

marcosyrht

Percebi parcialmente a tua exposição, mas daquilo que percebi parecia-me correcta até à Var(X+Y).
A variância da soma de v.a. não é igual à soma das variâncias, excepto se as v.a. forem independentes (que não é o caso).
Por definição, V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X;Y)

A Cov(X;Y) também não está bem descrita e calculada.
Por definição, Cov(X;Y) = E(XY) - E(X) E(Y)

Quando te perguntei sobre o número de extracções aleatórias respondeste 1 sorteio, mas resolveste quase todo o problema com duas extracções aleatórias. Podias ter respondido melhor à minha questão. Mas se enfim conseguiste responder ao tópico, ainda bem. Continuação de bom estudo.