Provar que a V.A.C é uma f.d.p. [resolvida]
09 abr 2014, 15:07
Dada a função:
\(f(x)\left\{\begin{matrix}2e^{-2x},\ para\ x\geq 0
\\0,\ para\ outros\ valores
\end{matrix}\right.\)
a) Mostrar que \(f(x)\) é uma f.d.p.
b) Calcular a probabilidade de \(x > 10\).
Para a a), eu estava fazendo o seguinte:
\(\int_{0}^{+\infty }2e^{-2x}dx = 1\)
sendo que \(u=-2x\\) e \(dx=-\frac{du}{2}\)
\(\int_{0}^{+\infty }e^{u}*2*(-\frac{du}{2}) = 1\)
\(\int_{0}^{+\infty }e^{u}*(-du) = 1\)
\(-\int_{0}^{+\infty }e^{u}du = 1\)
\((-[e^{-2*(+\infty)}])\ -\ (-[e^{-2*(0)}]) = 1\)
\((-[e^{-\infty}])\ -\ (-[e^{0}]) = 1\)
\((-[e^{-\infty}])\ -\ (-[1]) = 1\)
\((-[e^{-\infty}])+(1)=1\)
\((-[e^{-\infty}])\ = 0\)
e elevado ao infinito negativo é realmente 0?
Re: Provar que a V.A.C é uma f.d.p.
11 abr 2014, 01:44
Olá rafaelgtmbin
Realmente a resposta esta certa porque a proposição é verdadeira, i.e.
\(e^{-\infty}=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}=0\)
No entanto faço a ressalva que apesar da resposta final acabar por estar certa, os limites de integração após a substituição estão trocados e incorrectos já que
\(u=-2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\rightarrow 0\Rightarrow u\rightarrow 0\\ x\rightarrow +\infty \Rightarrow u\rightarrow -\infty \end{matrix}\right.\)
Ficando, após a substituição,
\(-\int_{0}^{-\infty }e^{u}du=\int_{-\infty }^{0}e^{u}du=\left [ e^{u} \right ]_{-\infty }^{0}=e^{0}-e^{-\infty }=1\)
c.q.d.
Realmente a resposta esta certa porque a proposição é verdadeira, i.e.
\(e^{-\infty}=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}=0\)
No entanto faço a ressalva que apesar da resposta final acabar por estar certa, os limites de integração após a substituição estão trocados e incorrectos já que
\(u=-2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\rightarrow 0\Rightarrow u\rightarrow 0\\ x\rightarrow +\infty \Rightarrow u\rightarrow -\infty \end{matrix}\right.\)
Ficando, após a substituição,
\(-\int_{0}^{-\infty }e^{u}du=\int_{-\infty }^{0}e^{u}du=\left [ e^{u} \right ]_{-\infty }^{0}=e^{0}-e^{-\infty }=1\)
c.q.d.