Probabilidade de Eventos Independentes Dado um Espaço Amostral

[anderson]

26 - Sejam dois eventos independentes de um dado espaço amostral , tais que a probabilidade de eles ocorrerem simultaneamente é 1/6
e a probabilidade de nenhum dos dois ocorrerem é 1/3. A probabilidade de apenas um deles ocorrer é dada por:
(A) 1/18
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 1/6
(E) 1/4

Gabarito: C

[FernandoMartins]

Olá anderson

Sejam A e B dois eventos independentes de um dado espaço amostral, tais que

\(P(A \cap B)=1/6\)
\(P(\bar{A} \cap \bar{B})=1/3\)

A probabilidade de apenas um deles ocorrer é dada por: \(P((\bar{A} \cap B)\cup (A\cap \bar{B}))\)

Pela Teorema da Probabilidade da União, tem-se

\(P((\bar{A} \cap B)\cup (A\cap \bar{B}))=P(\bar{A} \cap B)+P(A\cap \bar{B})-P((\bar{A} \cap B)\cap (A\cap \bar{B}))=P(B)-P(A \cap B)+P(A)-P(A \cap B)-0\)

Por outro lado, pelas leis de DeMorgan se \(P(\bar{A} \cap \bar{B})=1/3=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)\), pelo que

\(P(A\cup B)=2/3=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\), e logo

\(P(A)+P(B)=2/3+1/6=5/6\)

Então finalmente se pode calcular a probabilidade pedida, que é 1/2.

Bom estudo