Probabilidade de agrupar bolas em caixas

[edu]

Se 12 bolas são colocadas aleatoriamente em 20 caixas, qual a probabilidade de nenhuma caixa receber mais do que uma bola?

Minha duvida é definir o espaço amostral. Fiz exemplos menores como colocar 2,3 bolas em 1,2,3,4 caixas e não achei uma regularidade.
2 bolas em 1 caixa: S=1
2 2 : S=3
2 3 : S=6
2 4 :S=10
3 1 :S=1
3 2 :S=4
3 3 :S=10
3 4 :S=18
12 20 :S=????????????

[mpereira]

Pensemos na colocação de cada bola como um acontecimento independente da colocação de qualquer outra bola. De facto temos que a probabilidade da intersecção de acontecimentos independentes é igual ao produto das suas probabilidades. Assim, podemos colocar a primeira bola em qualquer uma das 20 caixas, dado que é impossível que dessa forma nenhuma caixa ficaria com duas bolas. A segunda bola poderá ser colocada em 19 das 20 caixas, dado que não a podemos colocar na caixa que já tinha a primeira bola. E assim sucessivamente, de forma a que a expressão surge da seguinte forma:
\(\frac{20}{20}*\frac{19}{20}*\frac{18}{20}*...*\frac{9}{20}*\frac{8}{20}\)