Cálculo da Esperança e Variância - v.a. discretas
08 ago 2014, 16:48
Boa tarde!!
A urna A contem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas, a urna B contem 5 bolas brancas e 1 bola preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória X denota o numero de bolas brancas obtidas. Determine os valores de X e a distribuição de probabilidade associada. Calcule a esperança e a variância.
A urna A contem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas, a urna B contem 5 bolas brancas e 1 bola preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória X denota o numero de bolas brancas obtidas. Determine os valores de X e a distribuição de probabilidade associada. Calcule a esperança e a variância.
Re: Calculo de esperança e variancia. [resolvida]
09 set 2014, 17:09
Sendo, Urna A = {3B, 2P} e B = {5B, 1P}. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna. X é a v.a. que denota o número de bolas brancas obtidas.
1. Determine os valores de X
2. Determine a distribuição de probabilidade associada a X
3. Calcule a esperança e a variância.
R:
1. É trivial, uma vez que se trata de duas extracções, os valores possíveis para X são {0,1,2}.
2. Determina-se primeiro a função massa de probabilidade de X, tendo em conta que:
a. as extracções (1a de cada urna) são independentes (logo o número total será sempre a multiplicação das possibilidades de cada urna);
b. X1 é o número de bolas brancas extraídas da urna 1, e, X2 é o número de bolas brancas extraídas da urna 2;
c. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) e se \(A\cap B= 0\) então \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
Vindo,
\(P(X=0)=\frac{\binom{2}{1}\binom{1}{1}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}\)
\(P(X=1)=P((X_{1}=1,X_{2}=0)\cup (X_{1}=0,X_{2}=1))=\frac{\binom{3}{1}\binom{5}{0}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}+\frac{\binom{3}{0}\binom{5}{1}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}\)
\(P(X=2)=P((X_{1}=2,X_{2}=0)\cup (X_{1}=1,X_{2}=1)\cup (X_{1}=0,X_{2}=2))=\frac{\binom{3}{2}\binom{5}{0}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}+\frac{\binom{3}{1}\binom{5}{1}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}+\frac{\binom{3}{0}\binom{5}{2}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}\)
Então a Função Distribuição é: P(X<=0)=P(X=0); P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1); P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
3. A Esperança de uma v.a. discreta é dada pela expressão: \(E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\), onde pi=P(X=i)
A Variância de uma v.a. discreta é dada pela expressão: \(V(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-E^{2}(X)\)
Daqui, basta ter em conta que n=3 e substituir os valores para o cálculo.
Bom estudo
1. Determine os valores de X
2. Determine a distribuição de probabilidade associada a X
3. Calcule a esperança e a variância.
R:
1. É trivial, uma vez que se trata de duas extracções, os valores possíveis para X são {0,1,2}.
2. Determina-se primeiro a função massa de probabilidade de X, tendo em conta que:
a. as extracções (1a de cada urna) são independentes (logo o número total será sempre a multiplicação das possibilidades de cada urna);
b. X1 é o número de bolas brancas extraídas da urna 1, e, X2 é o número de bolas brancas extraídas da urna 2;
c. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) e se \(A\cap B= 0\) então \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
Vindo,
\(P(X=0)=\frac{\binom{2}{1}\binom{1}{1}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}\)
\(P(X=1)=P((X_{1}=1,X_{2}=0)\cup (X_{1}=0,X_{2}=1))=\frac{\binom{3}{1}\binom{5}{0}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}+\frac{\binom{3}{0}\binom{5}{1}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}\)
\(P(X=2)=P((X_{1}=2,X_{2}=0)\cup (X_{1}=1,X_{2}=1)\cup (X_{1}=0,X_{2}=2))=\frac{\binom{3}{2}\binom{5}{0}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}+\frac{\binom{3}{1}\binom{5}{1}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}+\frac{\binom{3}{0}\binom{5}{2}}{\binom{5}{1}\binom{6}{1}}\)
Então a Função Distribuição é: P(X<=0)=P(X=0); P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1); P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
3. A Esperança de uma v.a. discreta é dada pela expressão: \(E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\), onde pi=P(X=i)
A Variância de uma v.a. discreta é dada pela expressão: \(V(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-E^{2}(X)\)
Daqui, basta ter em conta que n=3 e substituir os valores para o cálculo.
Bom estudo