Probabilidade do Pelo Menos Um

[fregnan]

A montanha-russa tem 2 assentos em cada uma das 12 filas. As pessoas são colocadas nos assentos de acordo com a ordem de chegada. Quantas vezes você deve ir de modo que haja 95% de chance de obter a primeira fila pelo menos uma vez?

A resposta do livro é 35, minha duvida é como proceder para achá-la.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Para obter o que se pede iremos utilizar a distribuição de Poisson. Sua fórmula é a seguinte:
\(P[N(t)=k]=\frac{e^{-\lambda t}\left(\lambda t\right)^k}{k!}\)

Como queremos saber quantas vezes precisamos ir na montanha-russa para assegurar a probabilidade mínima de 95% pelo menos uma vez fica mais fácil calcularmos o complemento da probabilidade máxima de 5% nenhuma vez, já que teremos que calcular somente a probabilidade de k = 0 (nenhuma vez) ao invés de somarmos indefinidamente (pelo menos uma vez seria P(1)+P(2)+P(3)+...P(infinito))... então:
\(\lambda=\frac{1}{12}\text{ media de chances para cair na primeira fila}
P[k=0]=\frac{e^{-\frac{1}{12}\cdot t}\left(\frac{1}{12}\cdot t\right)^0}{0!}\leq 0,05
e^{-\frac{1}{12}\cdot t}\leq 0,05
-\frac{1}{12}\cdot t\leq \ln{(0,05)}
-\frac{1}{12}\cdot t\leq -2,9957 \times (-1)
\frac{1}{12}\cdot t\geq 2,9957
t\geq 35,9484\)

Se escolhermos 36 a probabilidade será menor do que 0,05, consequentemente a probabilidade mínima será maior do que 95% (por serem complementares). Portanto, o valor pedido é realmente 35 vezes, que terá uma probabilidade de \(P[k=0]=\frac{e^{-\frac{1}{12}\cdot 35}\left(\frac{1}{12}\cdot 35\right)^0}{0!}\approx 0,0541\), deixando a probabilidade complementar valer \(P[k\geq 1]=1-P[k=0]=1-0,0541=0,9459\)

Espero ter ajudado!