Combinatória Simples 2 (URGENTE)
03 Oct 2013, 17:56
15 latas de refrigerantes estão dispostas em castelo da seguinte maneira, da base para o topo (5; 4; 3; 2; 1). 10 das latas são da Coca-cola todas iguais, outras 4 da pepsi todas iguais e uma lata de sumol.
Quantos aspectos diferente poderá ficar o castelo de modo a que fique simétrico?
Quantos aspectos diferente poderá ficar o castelo de modo a que fique simétrico?
Re: Combinatória Simples 2 (URGENTE) [resolvida]
23 Oct 2013, 23:43
Olá universidadecoimbra
A forma como é colocado este problema é engraçado e peculiar.
Tem-se então, 10 A's, 4 B's e 1 C para dispor em triangulo.
Considera-se que:
1. C apenas pode pertencer ao eixo central, por causa da simetria imposta, podendo, no entanto, ocupar 3 posições possíveis;
2. Os outros 2 elementos do eixo têm de ser iguais, porque #(A) é par e #(B) é par, e pela mesma razão da simetria imposta.
3. Na parte esquerda do triangulo e excluindo o eixo central, encontram-se 6 posições possíveis, que têm reflexo obrigatório na parte direita.
Tem-se portanto 2 tipos de eixo central possíveis. {C,B,B} ou {C,A,A}, ficando:
\(\begin{matrix} & & & & C & & & & \\ & & & B & & B & & & \\ & & A & & B & & A & & \\ & A & & A & & A & & A & \\ A & & A & & B & & A & & A \end{matrix}\) ou \(\begin{matrix} & & & & C & & & & \\ & & & B & & B & & & \\ & & B & & A & & B & & \\ & A & & A & & A & & A & \\ A & & A & & A & & A & & A \end{matrix}\)
No caso {C,B,B}: 3 (posições possíveis para C) x 6 (posições possíveis à esquerda para 1 B) = 18
No caso {C,A,A}: 3 (posições possíveis para C) x C(6,2) (posições possíveis à esquerda para 2 B's) = 3*15 = 45
Os restantes A são distribuídos pelos espaços restantes.
Somando todas as combinações ficam = 18+45=63 casos possíveis.
Espero ter ajudado, bom estudo combinatório
A forma como é colocado este problema é engraçado e peculiar.
Tem-se então, 10 A's, 4 B's e 1 C para dispor em triangulo.
Considera-se que:
1. C apenas pode pertencer ao eixo central, por causa da simetria imposta, podendo, no entanto, ocupar 3 posições possíveis;
2. Os outros 2 elementos do eixo têm de ser iguais, porque #(A) é par e #(B) é par, e pela mesma razão da simetria imposta.
3. Na parte esquerda do triangulo e excluindo o eixo central, encontram-se 6 posições possíveis, que têm reflexo obrigatório na parte direita.
Tem-se portanto 2 tipos de eixo central possíveis. {C,B,B} ou {C,A,A}, ficando:
\(\begin{matrix} & & & & C & & & & \\ & & & B & & B & & & \\ & & A & & B & & A & & \\ & A & & A & & A & & A & \\ A & & A & & B & & A & & A \end{matrix}\) ou \(\begin{matrix} & & & & C & & & & \\ & & & B & & B & & & \\ & & B & & A & & B & & \\ & A & & A & & A & & A & \\ A & & A & & A & & A & & A \end{matrix}\)
No caso {C,B,B}: 3 (posições possíveis para C) x 6 (posições possíveis à esquerda para 1 B) = 18
No caso {C,A,A}: 3 (posições possíveis para C) x C(6,2) (posições possíveis à esquerda para 2 B's) = 3*15 = 45
Os restantes A são distribuídos pelos espaços restantes.
Somando todas as combinações ficam = 18+45=63 casos possíveis.
Espero ter ajudado, bom estudo combinatório