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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Para a a), eu estava fazendo o seguinte:
\(\int_{0}^{+\infty }2e^{-2x}dx = 1\)

sendo que \(u=-2x\\) e \(dx=-\frac{du}{2}\)

\(\int_{0}^{+\infty }e^{u}*2*(-\frac{du}{2}) = 1\)

\(\int_{0}^{+\infty }e^{u}*(-du) = 1\)

\(-\int_{0}^{+\infty }e^{u}du = 1\)

\((-[e^{-2*(+\infty)}])\ -\ (-[e^{-2*(0)}]) = 1\)

\((-[e^{-\infty}])\ -\ (-[e^{0}]) = 1\)

\((-[e^{-\infty}])\ -\ (-[1]) = 1\)

\((-[e^{-\infty}])+(1)=1\)

\((-[e^{-\infty}])\ = 0\)

e elevado ao infinito negativo é realmente 0?

Olá rafaelgtmbin

Realmente a resposta esta certa porque a proposição é verdadeira, i.e.

\(e^{-\infty}=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}=0\)

No entanto faço a ressalva que apesar da resposta final acabar por estar certa, os limites de integração após a substituição estão trocados e incorrectos já que

\(u=-2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\rightarrow 0\Rightarrow u\rightarrow 0\\ x\rightarrow +\infty \Rightarrow u\rightarrow -\infty \end{matrix}\right.\)

Ficando, após a substituição,

\(-\int_{0}^{-\infty }e^{u}du=\int_{-\infty }^{0}e^{u}du=\left [ e^{u} \right ]_{-\infty }^{0}=e^{0}-e^{-\infty }=1\)

c.q.d.

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F. Martins