Distribuição Binomial e Distribuição Normal

[daniel.henrique.sc]

Sejam as variáveis normalmente distribuídas e independentes,

X₁: N(100,20)
X₂: N(100,30)
X₃: N(160,40)
X₄: N(200,40)

Seja X também com distribuição normal, sendo que X = 2X₁ - X₂ + 3X₃ - X₄. Calcular:

a) P (X >= 420);
b) P (X <= 436);
c) P ( 300 <= X <= 480).

Agradeço quem puder ajudar.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Sendo as variáveis normalmente distribuídas e independentes:
\(\mu{=}2(100)-100+3(160)-200{=}380
\sigma^2{=}2^2(20)+30+3^2(40)+40{=}80+30+360+40{=}510\)

Então:
a)
\(Z{=}\frac{X-\mu}{\sigma}{=}\frac{420-380}{\sqrt{510}}\approx{1,77}
P(X\geq 420){=}P(Z\geq 1,77){=}0,5-P(0\geq Z<1,77){=}0,5-0,46164{=}0,03836{=}3,836\%\)

b)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{436-380}{\sqrt{510}}\approx{2,48}
P(X\leq 436)=P(Z\leq 2,48)=0,5+P(0\leq Z\leq 2,48)=0,5+0,49343=0,99343=99,343\%\)

c)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Z_1=\frac{300-380}{\sqrt{510}}\approx{-3,54}
Z_2=\frac{480-380}{\sqrt{510}}\approx{4,43}
P(300\leq X\leq 480)=P(-3,54\leq Z\leq 4,43)
P(-3,54\leq Z\leq 4,43)=P(-3,54\leq Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq 4,43)
P(-3,54\leq Z\leq 4,43)=P(0\leq Z\leq 3,54)+P(0\leq Z\leq 4,43)=0,49980+0,49999=0,99979
P(-3,54\leq Z\leq 4,43)=99,979\T%\)

Espero ter ajudado!