olá,
alguém pode me ajudar nessa demonstração ?
Demostre que distribuição Binomial é uma legítima distribuição de probabilidade discreta:
desde já, grato !!!
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| Autor: | IVO [ 16 fev 2016, 18:05 ] |
| Título da Pergunta: | Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
olá, alguém pode me ajudar nessa demonstração ? Demostre que distribuição Binomial é uma legítima distribuição de probabilidade discreta: desde já, grato !!!
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| Autor: | Sobolev [ 17 fev 2016, 14:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
Tem apenas que verificar que, no caso da distribuição binomial de parâmetro n , k, se tem \(P(X = i) \ge 0, \quad i = {0}, \cdots, n P(X=0)+P(X=1) + \cdots + P(X=n) = {1}\) |
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| Autor: | IVO [ 17 fev 2016, 17:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
Sobolev Escreveu: Tem apenas que verificar que, no caso da distribuição binomial de parâmetro n , k, se tem \(P(X = i) \ge 0, \quad i = {0}, \cdots, n P(X=0)+P(X=1) + \cdots + P(X=n) = {1}\) como faço isso ? |
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| Autor: | Sobolev [ 17 fev 2016, 18:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
No caso de uma binomial de parâmetros n,p tem que \(P(X=k) = \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}\) Como \(0 \leq p \leq 1\), tem que \(p \ge 0, (1-p) \ge 0\) e além disso \(~^n C_k >0\). Assim, a positividade está garantida, isto é, \(P(X=k) \ge 0, \quad k=0, \cdots, n\). De seguida temos que ver que a soma de todas as probabilidades soma 1, isto é, que \(\sum_{k=0}^n P(X=k)=1 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1\) Consegue prosseguir? Tente demonstrar por indução em n. |
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| Autor: | IVO [ 18 fev 2016, 01:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
Sobolev Escreveu: No caso de uma binomial de parâmetros n,p tem que \(P(X=k) = \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}\) Como \(0 \leq p \leq 1\), tem que \(p \ge 0, (1-p) \ge 0\) e além disso \(~^n C_k >0\). Assim, a positividade está garantida, isto é, \(P(X=k) \ge 0, \quad k=0, \cdots, n\). De seguida temos que ver que a soma de todas as probabilidades soma 1, isto é, que \(\sum_{k=0}^n P(X=k)=1 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1\) Consegue prosseguir? Tente demonstrar por indução em n. Sobolev Escreveu: No caso de uma binomial de parâmetros n,p tem que \(P(X=k) = \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k}\) Como \(0 \leq p \leq 1\), tem que \(p \ge 0, (1-p) \ge 0\) e além disso \(~^n C_k >0\). Assim, a positividade está garantida, isto é, \(P(X=k) \ge 0, \quad k=0, \cdots, n\). De seguida temos que ver que a soma de todas as probabilidades soma 1, isto é, que \(\sum_{k=0}^n P(X=k)=1 \Leftrightarrow \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1\) Consegue prosseguir? Tente demonstrar por indução em n. Obrigado Sobolev, mas eu não consigo imaginar essa solução, vc pode me ajudar um pouco mais nesse passo ? Att, |
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| Autor: | Sobolev [ 18 fev 2016, 10:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: [resolvida] |
Numa prova por indução tem que estabelecer que certo resultado é válido para determinado número natural \(n_0\) e que, se for válido para um certo \(n> n_0\) também será válido para \(n+1\). Deste modo mostra que o resultado vale para qualquer \(n \ge n_0\). (Obs. normalmente \(n_0=1\)). Vejamos então este caso concreto: 1. Mostrar que o resultado é válido quando n=1, isto é, que \(\sum_{k=0}^1 \left(\begin{array}{c} 1\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{1-k} = 1\). \(\sum_{k=0}^1 \left(\begin{array}{c} 1\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{1-k} = \left(\begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) p^0 (1-p)^1 + \left(\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right) p^1 (1-p)^0 = p + (1-p) = 1\) 2. Mostrar que \(\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} = 1 \Rightarrow \sum_{k=0}^{n+1} \left(\begin{array}{c} n+1\\k\end{array}\right) p^k(1-p)^{n+1-k} = 1\). O processo é simples de seguir, pode ver por exemplo em http://www.pmean.com/12/negbin.html. |
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| Autor: | IVO [ 24 fev 2016, 17:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
ahhh, to entendendo, mas porque eu tenho que fazer isso ? Sobolev Escreveu: Tem apenas que verificar que, no caso da distribuição binomial de parâmetro n , k, se tem
\(P(X = i) \ge 0, \quad i = {0}, \cdots, n P(X=0)+P(X=1) + \cdots + P(X=n) = {1}\) |
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| Autor: | FernandoMartins [ 25 mar 2016, 04:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demostre que distribuição Binomial é uma probabilidade discreta: |
IVO Se tem de provar que é uma f.d.p discreta, então tem de demonstrar 2as coisas: que é uma função discreta (que é trivial pela construção da dist. binomial), e que é uma função massa de probabilidade (consulte a definição probabilidade (https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade_de_Axiomas)) i.e. que verifica os axiomas de Kolmogorov. :∇: 
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