Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! :: Ver Pergunta - probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro

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porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis?

Obtei por considerar os homens todos iguais e as mulheres também todas iguais. A solução é a mesma porque tanto os casos favoráveis como os casos possíveis diferem pelo factor \(3!\times 6!\), ou seja
nº de casos possíveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({9\choose 3}\)
nº de casos possíveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({9\choose 3}\times 3!\times 6!\)

e

nº de casos favoráveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({7\choose 3}\)
nº de casos favoráveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({7\choose 3}\times 3!\times 6!\)

Citar:

E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3.

Vamos considerar um exemplo mais pequeno. Suponhamos que queremos determinar o nº de palavras de letras A e B com três A's e três B's de modo que não haja dois A's lado a lado. É fácil ver que as soluções são:
ABABAB
ABABBA
ABBABA
BABABA
Estas podem ser obtidas determinando as palavras com três A's e um B (combinações 4 a 3) e juntando os restantes dois B's entres os A's:
AAAB --> ABABAB
AABA --> ABABBA
ABAA --> ABBABA
BAAA --> BABABA
Em geral se pretendemos determinar o nº de palavras com n A's e k B's em que não haja dois A's lado a lado o que fazemos é tirar n-1 B's (para tal é necessário que \(k\geq n-1\)) e determinar o nº de combinações possíveis k+1 lugares disponíveis para colocar n A's (o que dá \({k+1\choose n}\)) e depois colocar cada par de A's um B (por exemplo AABBABA --> ABABBBABBA).
Foi isto que fiz para o calculo do nº de caso favoráveis (3 homens e 6 mulheres dá \({7\choose 3}\) maneiras possíveis de colocar os 3 homens em fila sem estarem dois lado a lado).

Autor:	liliana.pereira [ 20 dez 2012, 17:56 ]
Título da Pergunta:	probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Um grupo de 6 mulheres e 3 homens está disposto, aleatoriamente, em fila. Qual é a probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro? Obrigada

Autor:	rodriguinhogba [ 26 dez 2012, 17:36 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
liliana.pereira Escreveu: Um grupo de 6 mulheres e 3 homens está disposto, aleatoriamente, em fila. Qual é a probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro? Obrigada Permutação com repetição O número total de maneiras possíveis como essa fila poderia estar seria \(\frac {9!}{6!3!}=84\) Os casos em que dois homens apareceriam ao lado \(\frac {8!}{6!}=56\) Probabilidade \(P= \frac {n (Casos favoraveis)}{n (Casos Possiveis)\) \(P=\frac {56}{84}\) \(P=\frac {2}{3}\) em que apareceriam 2 homens Logo a probabilidade de não aparecer será \(\frac {1}{3}\) Acho que a resposta seria \(\frac {1}{3}\)

Autor:	liliana.pereira [ 27 dez 2012, 23:22 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Obrigada rodriguinhogba, mas a solução é 5/12. Preciso de ajuda para lá chegar. Consegues?

Autor:	Rui Carpentier [ 28 dez 2012, 02:40 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Como já foi dito Citar: O número total de maneiras possíveis como essa fila poderia estar seria \({9\choose 3}=84\) Não sei por que carga de água é que Citar: [O número de] casos em que dois homens apareceriam ao lado [é] \(\frac{8!}{6!}=56\) Mas sei que pôr três homens numa fila de nove sem estarem dois lado a lado é o mesmo que pôr os três numa fila de sete e juntar depois uma mulher entre cada um do dois intervalos entre eles (exemplo MHHMMHM --> MHMHMMMHM). Assim sendo, o número de casos possíveis de por três homens na fila sem estarem dois lado a lado é \({7\choose 3}=35\) Portanto a probabilidade pedida é \(\frac{35}{84}=\frac{5}{12}\).

Autor:	liliana.pereira [ 31 dez 2012, 01:58 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Muito obrigada Rui Carpenter. Conseguiste chegar ao resultado. No entanto, eu agradecia que me explicasses melhor a tua resolução. porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis? E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3. Obrigada e bom ano!!

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probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=68&t=1268	Página 1 de 1

Autor:	Rui Carpentier [ 31 dez 2012, 14:40 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Citar: porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis? Obtei por considerar os homens todos iguais e as mulheres também todas iguais. A solução é a mesma porque tanto os casos favoráveis como os casos possíveis diferem pelo factor \(3!\times 6!\), ou seja nº de casos possíveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({9\choose 3}\) nº de casos possíveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({9\choose 3}\times 3!\times 6!\) e nº de casos favoráveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({7\choose 3}\) nº de casos favoráveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({7\choose 3}\times 3!\times 6!\) Citar: E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3. Vamos considerar um exemplo mais pequeno. Suponhamos que queremos determinar o nº de palavras de letras A e B com três A's e três B's de modo que não haja dois A's lado a lado. É fácil ver que as soluções são: ABABAB ABABBA ABBABA BABABA Estas podem ser obtidas determinando as palavras com três A's e um B (combinações 4 a 3) e juntando os restantes dois B's entres os A's: AAAB --> ABABAB AABA --> ABABBA ABAA --> ABBABA BAAA --> BABABA Em geral se pretendemos determinar o nº de palavras com n A's e k B's em que não haja dois A's lado a lado o que fazemos é tirar n-1 B's (para tal é necessário que \(k\geq n-1\)) e determinar o nº de combinações possíveis k+1 lugares disponíveis para colocar n A's (o que dá \({k+1\choose n}\)) e depois colocar cada par de A's um B (por exemplo AABBABA --> ABABBBABBA). Foi isto que fiz para o calculo do nº de caso favoráveis (3 homens e 6 mulheres dá \({7\choose 3}\) maneiras possíveis de colocar os 3 homens em fila sem estarem dois lado a lado).

Autor:	liliana.pereira [ 31 dez 2012, 19:39 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Muito obrigada Rui Carpentier! Nunca tinha aprendido a resolver exercícios dessa forma, mas consegui perceber. Obrigada e bom ano!!

Autor:	rodriguinhogba [ 31 dez 2012, 21:46 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro
Rui Carpentier Escreveu: Citar: porquê combinações de 9, 3 a 3? não deveria ser 9! nos casos possíveis? Obtei por considerar os homens todos iguais e as mulheres também todas iguais. A solução é a mesma porque tanto os casos favoráveis como os casos possíveis diferem pelo factor \(3!\times 6!\), ou seja nº de casos possíveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({9\choose 3}\) nº de casos possíveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({9\choose 3}\times 3!\times 6!\) e nº de casos favoráveis considerando apenas o sexo das pessoas=\({7\choose 3}\) nº de casos favoráveis considerando cada indivíduo distinto dos outros =\({7\choose 3}\times 3!\times 6!\) Citar: E porquê combinações de 7, 3 a 3? Agradecia que me explicasses de onde vem o 7 e o 3. Vamos considerar um exemplo mais pequeno. Suponhamos que queremos determinar o nº de palavras de letras A e B com três A's e três B's de modo que não haja dois A's lado a lado. É fácil ver que as soluções são: ABABAB ABABBA ABBABA BABABA Estas podem ser obtidas determinando as palavras com três A's e um B (combinações 4 a 3) e juntando os restantes dois B's entres os A's: AAAB --> ABABAB AABA --> ABABBA ABAA --> ABBABA BAAA --> BABABA Em geral se pretendemos determinar o nº de palavras com n A's e k B's em que não haja dois A's lado a lado o que fazemos é tirar n-1 B's (para tal é necessário que \(k\geq n-1\)) e determinar o nº de combinações possíveis k+1 lugares disponíveis para colocar n A's (o que dá \({k+1\choose n}\)) e depois colocar cada par de A's um B (por exemplo AABBABA --> ABABBBABBA). Foi isto que fiz para o calculo do nº de caso favoráveis (3 homens e 6 mulheres dá \({7\choose 3}\) maneiras possíveis de colocar os 3 homens em fila sem estarem dois lado a lado). Essa forma de calcular é interessante nunca vi tbm essa forma... Não entendi o porque de usar combinação? E desculpa ai pelo meu erro não sou muito bom em análise combinatória e probabilidade...

Autor:	rodriguinhogba [ 01 jan 2013, 00:21 ]
Título da Pergunta:	Re: probabilidade de não haver 2 homens ao lado um do outro [resolvida]
Rui Carpentier Escreveu: Como já foi dito Citar: O número total de maneiras possíveis como essa fila poderia estar seria \({9\choose 3}=84\) Não sei por que carga de água é que Citar: [O número de] casos em que dois homens apareceriam ao lado [é] \(\frac{8!}{6!}=56\) Mas sei que pôr três homens numa fila de nove sem estarem dois lado a lado é o mesmo que pôr os três numa fila de sete e juntar depois uma mulher entre cada um do dois intervalos entre eles (exemplo MHHMMHM --> MHMHMMMHM). Assim sendo, o número de casos possíveis de por três homens na fila sem estarem dois lado a lado é \({7\choose 3}=35\) Portanto a probabilidade pedida é \(\frac{35}{84}=\frac{5}{12}\). Seria mais fácil pensar da seguinte forma o número total de permutações era \(\frac{9!}{3!.6!}=84\) Calculando o numero em que os 3 homens aparecem juntos da \(\frac {7!}{6!}=7\) Agora calculando as permutações (HH)HMMMMMM \(\frac {8!}{6!}=56\) Só que aqui eu estaria contando 2 vezes em que aparecem 3 homens então subtraio 56-7= 49 Aqui eu teria as permutações de 2 e tres homens juntos que dava 49 e quando aparecem 3 homens juntos eu tenho dois homens ao lado um do outro. Agora se 84 é o total, 84-56 =35 é o que n tem homens do lado um do outro Logo a probabilidade seria \(\frac {35}{84}= \frac {5}{12}\)

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