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Esperança condicional (lançamento de moeda e dado)

04 mai 2017, 02:34

Considere uma moeda honesta, com faces marcadas pelo número zero em lugar da coroa e pelo número 1 em lugar de cara e um dado uniforme com 6 faces numeradas de 1 a 6. Lançamos simultaneamente o dado e a moeda e assumimos que o espaço amostral resultante é equiprovável.
Calcule a esperança condicional do valor obtido na face superior do dado, condicionado a ocorrência do evento a soma dos valores obtidos no dado e na moeda é igual a 3.


(a) 3/2
(b) 2
(c) 1
(d) 3
(e) 5/2

Re: Esperança condicional (lançamento de moeda e dado)

04 mai 2017, 10:32

Sejam \(X,Y\) variáveis aleatórias que representam os números obtidos nos lançamentos. Temos que \(X \in \{0,1\}\) e \(Y \in\{1,2,3,4,5,6\}\). pretende calcular
\(E[Y | X+Y = 3] = \sum_{y = 1}^6 y P[Y=y | X+Y = 3]\)

Consegue continuar?

Re: Esperança condicional (lançamento de moeda e dado)

05 mai 2017, 13:16

Parei exatamente neste ponto e não consigo continuar.
Será que poderia me ajudar me explicando detalhadamente?

Muito obrigada.

Re: Esperança condicional (lançamento de moeda e dado)

05 mai 2017, 14:25

Bem, agora tem que calcular cada uma das probabilidades condicionadas que surgem na expressão. Algumas são fáceis... Se a soma é 3 e X só pode ser 0 ou 1, nem todos os valores de Y são viáveis. Assim,

\(P(Y=1|X+Y=3) = P(Y=4|X+Y=3)=P(Y=5|X+Y=3) = P(Y=6|X+Y=3)=0\)

Como \(X\in \{0,1\}\), se Y=1 não há forma de X+Y=3.

\(P(Y=2| X+Y=3) = \frac{P(Y=2,X+Y=3)}{P(X+Y=3)}= \frac{P(Y=2, X=1)}{P(X+Y=3)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}}{2/12} = \frac 12\)


\(P(Y=3| X+Y=3) = \frac{P(Y=3,X+Y=3)}{P(X+Y=3)}= \frac{P(Y=3, X=0)}{P(X+Y=3)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}}{2/12} = \frac 12\)

Então,

\(E[Y|X+Y=3] = 2 \times \frac 12 + 3 \times \frac12 = \frac 52\)
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