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Esperança condicional (lançamento de moeda e dado) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=68&t=12683 |
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Autor: | Mel_2027 [ 04 mai 2017, 02:34 ] |
Título da Pergunta: | Esperança condicional (lançamento de moeda e dado) |
Considere uma moeda honesta, com faces marcadas pelo número zero em lugar da coroa e pelo número 1 em lugar de cara e um dado uniforme com 6 faces numeradas de 1 a 6. Lançamos simultaneamente o dado e a moeda e assumimos que o espaço amostral resultante é equiprovável. Calcule a esperança condicional do valor obtido na face superior do dado, condicionado a ocorrência do evento a soma dos valores obtidos no dado e na moeda é igual a 3. (a) 3/2 (b) 2 (c) 1 (d) 3 (e) 5/2 |
Autor: | Sobolev [ 04 mai 2017, 10:32 ] |
Título da Pergunta: | Re: Esperança condicional (lançamento de moeda e dado) |
Sejam \(X,Y\) variáveis aleatórias que representam os números obtidos nos lançamentos. Temos que \(X \in \{0,1\}\) e \(Y \in\{1,2,3,4,5,6\}\). pretende calcular \(E[Y | X+Y = 3] = \sum_{y = 1}^6 y P[Y=y | X+Y = 3]\) Consegue continuar? |
Autor: | Mel_2027 [ 05 mai 2017, 13:16 ] |
Título da Pergunta: | Re: Esperança condicional (lançamento de moeda e dado) |
Parei exatamente neste ponto e não consigo continuar. Será que poderia me ajudar me explicando detalhadamente? Muito obrigada. |
Autor: | Sobolev [ 05 mai 2017, 14:25 ] |
Título da Pergunta: | Re: Esperança condicional (lançamento de moeda e dado) |
Bem, agora tem que calcular cada uma das probabilidades condicionadas que surgem na expressão. Algumas são fáceis... Se a soma é 3 e X só pode ser 0 ou 1, nem todos os valores de Y são viáveis. Assim, \(P(Y=1|X+Y=3) = P(Y=4|X+Y=3)=P(Y=5|X+Y=3) = P(Y=6|X+Y=3)=0\) Como \(X\in \{0,1\}\), se Y=1 não há forma de X+Y=3. \(P(Y=2| X+Y=3) = \frac{P(Y=2,X+Y=3)}{P(X+Y=3)}= \frac{P(Y=2, X=1)}{P(X+Y=3)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}}{2/12} = \frac 12\) \(P(Y=3| X+Y=3) = \frac{P(Y=3,X+Y=3)}{P(X+Y=3)}= \frac{P(Y=3, X=0)}{P(X+Y=3)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}}{2/12} = \frac 12\) Então, \(E[Y|X+Y=3] = 2 \times \frac 12 + 3 \times \frac12 = \frac 52\) |
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