Variaveis aleatorias continuas com função d eprobabilidade

[hollan]

A função de densidade X é dada por

\(f(x)=\left\{\begin{matrix} a+bx^2,&0\leq x\leq 1, & \\ 0, &caso contrario & \end{matrix}\right.\)

Se E(X) = 3/5, determine a e b.

[Rui Carpentier]

Para que \(f\) seja uma função de densidade de probabilidade é necessário que \(\int_\Omega f(x)dx=1\), o que dá a equação \(a+\frac{b}{3}=1\). Por outro lado, \(E(X)=\int_\Omega xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(a+bx^2 )dx=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}\), logo \(\frac{a}{2}+\frac{b}{4}=\frac{3}{5}\). Dito isto, há apenas que resolver o sistema de equações lineares a duas incógnitas: \(\left\{\begin{matrix}a+\frac{b}{3}=1\\ \frac{a}{2}+\frac{b}{4}=\frac{3}{5}\end{matrix}\right.\)