Probabilidade de que nenhum dos passageiros apanhe sua mala

[Joao pedroo]

Em um voo fretado vão embarcar n pessoas, cada um levando apenas uma mala cheia de dinheiro. Todos despacham suas respectivas malas no check in e a atendente nota que as malas são idênticas. No desembarque, os passageiros notam apavorados que alguém retirou as etiquetas das malas. No pavor, cada um pega uma mala aleatoriamente e sai correndo.

Pedem-se as probabilidade:
a) de que nenhum dos n passageiros apanhe sua própria mala. (resposta em função de n)
b) de que exatamente k (k=1,2,...,n) passageiros apanhem suas próprias malas. (reposta em função de n e k)

[jorgeluis]

joão,
a)
probabilidade de que, cada um pegue sua própria mala:
\(P(1)=\frac{1}{n}\)
logo,
a probabilidade de que, nenhum pegue sua própria mala:
\(P(n-1)=1-\frac{1}{n}
P(n-1)=\frac{(n-1)}{n}\)

b)
\(P(k)=\frac{k}{n}\)

[Rui Carpentier]

Jorge, não é assim tão fácil.
Na alínea a) trata-se de caso de desarranjo. A probabilidade é \(\frac{!n}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\).
Na alínea b) para contar o número de casos favoráveis temos de escolher k passageiros que ficam com a sua mala e um desarranjo para os restantes n-k passageiros. Ou seja, há \({n \choose k}\times !(n-k)\) casos favoráveis, logo a probabilidade será \(\frac{{n \choose k}\times !(n-k)}{n!}= \frac{!(n-k)}{k!\times (n-k)!}=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(-1)^j}{j!}\).