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Probabilidade de que nenhum dos passageiros apanhe sua mala https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=68&t=13490 |
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Autor: | Joao pedroo [ 08 dez 2017, 18:40 ] |
Título da Pergunta: | Probabilidade de que nenhum dos passageiros apanhe sua mala |
Em um voo fretado vão embarcar n pessoas, cada um levando apenas uma mala cheia de dinheiro. Todos despacham suas respectivas malas no check in e a atendente nota que as malas são idênticas. No desembarque, os passageiros notam apavorados que alguém retirou as etiquetas das malas. No pavor, cada um pega uma mala aleatoriamente e sai correndo. Pedem-se as probabilidade: a) de que nenhum dos n passageiros apanhe sua própria mala. (resposta em função de n) b) de que exatamente k (k=1,2,...,n) passageiros apanhem suas próprias malas. (reposta em função de n e k) |
Autor: | jorgeluis [ 10 dez 2017, 14:18 ] |
Título da Pergunta: | Re: Probabilidade de que nenhum dos passageiros apanhe sua mala |
joão, a) probabilidade de que, cada um pegue sua própria mala: \(P(1)=\frac{1}{n}\) logo, a probabilidade de que, nenhum pegue sua própria mala: \(P(n-1)=1-\frac{1}{n} P(n-1)=\frac{(n-1)}{n}\) b) \(P(k)=\frac{k}{n}\) |
Autor: | Rui Carpentier [ 11 dez 2017, 00:24 ] |
Título da Pergunta: | Re: Probabilidade de que nenhum dos passageiros apanhe sua mala [resolvida] |
Jorge, não é assim tão fácil. Na alínea a) trata-se de caso de desarranjo. A probabilidade é \(\frac{!n}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\). Na alínea b) para contar o número de casos favoráveis temos de escolher k passageiros que ficam com a sua mala e um desarranjo para os restantes n-k passageiros. Ou seja, há \({n \choose k}\times !(n-k)\) casos favoráveis, logo a probabilidade será \(\frac{{n \choose k}\times !(n-k)}{n!}= \frac{!(n-k)}{k!\times (n-k)!}=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{n-k}\frac{(-1)^j}{j!}\). |
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