Probabilidade de moeda viciada lançadas em pares de vezes

[RaphaelAloi]

Por favor, preciso de ajuda em 4 exercícios!

O primeiro é:

Uma moeda viciada tem probabilidade p e 1 – p de dar cara e coroa, respectivamente, sendo que 0 < p < 1. Essa moeda é lançada vários pares de vezes até que pela primeira vez ocorram duas faces iguais. Calcule a probabilidade de que o último lançamento (do último par de lançamento) resulte em cara.

a) 1/2
b) p²/(p²+(1-p)²)
c) (1-p)² /(p²+(1-p)²
d) 2p²/(2p³ + 3(1 – p)²);
e) 3(1-p)² /(2p²+3(1-p)²

[Rui Carpentier]

Pelo que entedi do enunciado, no último par de lançamentos saiu a mesma face e queremos determinar a probabilidade de essa face ter sido cara. Temos então a considerar dois acontecimentos: sair duas caras no par de lançamentos (A) e sair a mesma face no par de lançamentos (B). Queremos determinar a probabilidade condicionada P(A|B) (sair duas caras sabendo que saiu a mesma face no par de lançamentos). O acontecimento A está contido no acontecimento B e a sua probabilidade é \(p^2\), temos portanto, \(P(A\cap B)=P(A)=p^2\). O acontecimento B é a união do acontecimento A com o acontecimento disjunto C de sair duas coroas no par de lançamentos, a probabilidade de C é \((1-p)^2\), logo a probabilidade de B é \(p^2+(1-p)^2\). Portanto, \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{p^2}{p^2+(1-p)^2}\).