Fórum de Matemática
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Prezados colegas do fórum,
Tenho uma questão para resolver e não encontro uma saída.

Dado um universo de 15 números (de 1 até 15), tenho que selecionar 9 destes números (exclusivos = não podem se repetir) e o somatório destes 9 números deve ser igual a 57.
Quantos arranjos são possíveis de se obter para que o somatório seja 57?

Trata-se de um problema de partição de um número com a variante de que os números têm de ser distintos, a dimensão da partição ser 9 e cada somando não poder exceder 15.
Há muitas referências sobre partições e suas variantes:
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
https://brilliant.org/wiki/partition-of-an-integer/
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partition_function_(number_theory)
http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html
mas, tanto quanto sei, não existe uma formula fechada para as determinar em nenhum caso específico(com somandos distintos ou não, inferiores a um dado número ou não, com um número fixo de somandos ou não).
No entanto, não é difícil encontrar uma fórmula de recorrência para \(p_{k,l}(n)\) (o número de partições com k somados distintos não superiores a l) e com ela construir um programa que calcule o que é pedido (ou, com paciência, calcular à mão).
\(p_{k,l}(n) = p_{k,l-1}(n-k)+p_{k-1,l-1}(n-k)\) com \(p_{k,l}(n)=0\) se \(k\le 0\) ou \(n<\frac{k(k+1)}{2}\) ou \(l<k\) e \(p_{k,l}(n)=1\) se \(k=1\le n\le l\).