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1.ª parte
Para que se possa calcular e trabalhar com probabilidades de distribuições Normais (gaussianas) não standard, usualmente recorre-se à redução dessa variável (que são 2 transformações designadas por centragem e redução - subtracção do valor médio e divisão pelo desvio-padrão).
Pode demonstrar-se que a nova variável
\(Z=\frac{T-\mu }{\sigma}\sim N\left (0,1\right )\) (distribuição Normal Standard ou Reduzida)
Ora, se \(T\sim N(\mu ,\sigma =5)\) e \(P(T<35)=0.015\), vem, por redução à distribuição N(0,1),
\(P(\frac{T-\mu }{5}<\frac{35-\mu }{5})=P(Z<\frac{35-\mu }{5})=0.015\)
Observando a tabela da distribuição Normal Standard cumulativa, (lembrar que sendo a função densidade Normal uma curva simétrica, verificando que o quantil normal de p =\(z_{p}=-z_{1-p}\))
\(\frac{35-\mu }{5}=z_{0.015}=-z_{0.985}=-2.17\)
e portanto, \(\mu = 35+2.17*5=45.85\)
2.ª parte
Por outro lado, numa sequência de n extracções independentes com reposição, o número de extracções com sucesso segue uma lei Binomial.
Isto é, se X = # extracções com sucesso, e p = probabilidade de se obter um sucesso, então, \(X\sim Bin(n,p)\)
Então, sendo X = # extracções com valores inferiores a \(\mu =45.85\) e p=0.5 (sendo \(P\left ( X\leq \mu \right )=0.5\)), vem \(X\sim Bin\left ( 20,0.5 \right )\).
Logo, \(P\left ( X\leq 10 \right )=\sum_{j=0}^{10}\binom{20}{j}0.5^{10}0.5^{10}\), valor que pode ser consultado numa tabela da probabilidade Binomial cumulativa.
Nota: Uma vez que o valor médio 45.85 não é utilizado nesta última fórmula, a verdade é que, para a resolução do exercício não é necessário o cálculo do valor médio, podendo assim, evitar-se a 1.ª parte.
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