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Este é um problema de funções de variáveis aleatórias (v.a.). Tendo como pressupostos que:
1. \(\theta \sim Uniforme\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]\) (v.a. do ângulo)
2. \(X=\varphi (\theta )=sen\left (\theta \right )\) , uma função monótona e derivável.
Encontra-se facilmente em qualquer literatura de probabilidades:
se a v.a. \(\theta \sim Unif\left [ a,b \right ]\), então a sua f.d.p. é \(f\left(\theta\right)=\left\{\begin{matrix}0,\theta \notin\left[a,b\right]\\ \frac{1}{b-a}, \theta \in \left [ a,b \right ]\end{matrix}\right.\), e \(E\left[\theta\right]=\frac{a+b}{2}\) e \(V\left[\theta\right]=\frac{\left(b-a\right)^{^{2}}}{12}\). Ou seja, \(E\left [ \theta \right ]=0\) e \(V\left [ \theta \right ]=\frac{\pi ^{2}}{12}\).
Define-se, \(E\left[\varphi(\theta )\right]=\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\theta)f\left(\theta\right)d\theta\), e, \(V\left [ \varphi (\theta) \right ]=E\left [ \varphi (\theta)^{2} \right ]-E^{2}\left [ \varphi (\theta) \right ]\)
Calculando, \(E\left[sen(\theta )\right]=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{+\frac{\pi }{2}} sen(\theta)\frac{1}{\pi }d\theta=0\), e , \(V\left [ \varphi (\theta) \right ]=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{+\frac{\pi }{2}} sen(\theta)^{2} \frac{1}{\pi }d\theta -E^{2}\left [ \varphi (\theta) \right ]=\left [ \frac{\theta }{2}-\frac{sen\left ( 2\theta \right )}{4} \right ]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}-0=\frac{\pi }{2}\)
Se quiser, pode calcular-se a f.d.p. de X através da fórmula: \(f\left ( x \right )=\left | \frac{f\left (\theta\right )}{\varphi '\left ( \theta \right)} \right |_{\theta =\varphi ^{-1}\left ( x \right )}\), pelo que, \(f\left ( x \right)=\left|\frac{\frac{1}{\pi}}{cos\theta} \right |_{\theta =arcsen \left(x\right)}=\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\), com \(x\in \left [ -1,1 \right ]\)
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