Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Três prisioneiros, Astolfo, Bastião e Cesário, estão em celas separadas e condenados à morte. O governador escolheu um deles ao acaso para ser perdoado (sem nenhuma preferência por nenhum prisioneiro). Depois da escolha, o governador diz ao diretor do presídio quem foi o escolhido. Ou seja, o diretor sabe quem será perdoado, mas não lhe é permitido dizer aos prisioneiros. O prisioneiro Astolfo faz uma proposta ao diretor. Ele pede que ele lhe diga a identidade de um dos prisioneiros que será executado.
Diz ele: "Se Bastião é quem vai ser perdoado, dá-me o nome de Cesário. Mas se Cesário for o perdoado, dá-me o nome de Bastião. E se for eu, Astolfo, o perdoado pelo governador, jogue uma moeda honesta para decidir se vai me dar o nome de Bastião ou Cesário."
O diretor topa a proposta e diz a Astolfo que Bastião será executado. Astolfo então fica muito feliz, pois ele acredita que a probabilidade de sobreviver agora subiu de 1/3 para 1/2, já que agora chance é entre ele e Cesário.
Astolfo não resiste e secretamente conta para Cesário a notícia. Cesário então começa a rir e diz a Astolfo: “Como você é burro! Você continua com 1/3 de ser perdoado, mas agora, sabendo disso, sou eu quem aumentou a chance de ser perdoado para 2/3”.
Quem está certo? (Responda utilizando formalismo matemático de probabilidade)

Olá gpedroso

O problema que colocas segue o modelo do

http://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

Não tenho dúvida que é um problema interessante que durante alguns anos deixou a comunidade matemática em pé-de-guerra. Mesmo entre grandes mestre e doutores havia (e se calhar ainda há alguma) falta de consenso alegando-se de parte a parte erros de hipótese ou de raciocínio. Como o artigo do wikipedia indica, o problema tem solução por aplicação do Teorema de Bayes. Pessoalmente nunca o resolvi analiticamente. Mas vou deixar que alguém se sinta desafiado a colocar aqui a resolução pelo T. de Bayes. Bem visto!

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http://www.matematicaviva.pt/
F. Martins

Obrigado.

Agora já sei ao menos por onde devo começar a estudar

Não tenho certeza se cheguei à conclusão correta, mas vou expor o raciocínio aplicado:

Nomeando os eventos temos:

A = "Bastião ser perdoado"
B = "Cesário ser perdoado"
C = "Astolfo ser perdoado"

A princípio as probabilidades P(A), P(B) e P(C) são as mesmas e iguais a 1/3.

Sabe-se que o diretor do presídio indicaria o nome de Bastião ou Cesário e o faria nas seguintes circunstâncias:

1º - Diria que Bastião seria executado em uma das seguintes situações: (Chamarei de evento D)
- Cesário tivesse sido perdoado;
- Astolfo tivesse sido perdoado e Bastião tivesse sido sorteado na moeda;

2º - Diria que Cesário seria executado em uma das seguintes situações: (Chamarei de evento E)
- Bastião tivesse sido perdoado;
- Astolfo tivesse sido perdoado e Cesário tivesse sido sorteado na moeda;

O que quero saber é : "Qual é a probabilidade do evento C ocorrer dado que o evento D ocorreu?"

Utilizando o Teorema condicional de Bayes que diz o seguinte: \(P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)

temos a seguinte situação: \(P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)}\)

A probabilidade P(D|C) = 1/2 pois seria decidido na moeda (honesta)

A probabilidade P(C) = 1/3. Esta é a probabilidade inicial de Astolfo ser absolvido.

E a probabilidade P(D) = 1/2. Esta probabilidade pode ser foco de algum erro(me corrijam se notarem). Eu a dividi em dois casos: No primeiro caso ou Cesário seria perdoado e Bastião seria indicado ou Bastião seria perdoado e Cesário seria indicado, logo a probabilidade é de 1/2 para a primeira situação. No segundo caso Astolfo é absolvido, logo a probabilidade de Bastião ser o indicado é 1/2 (decidido na moeda). Então a conta ficaria: \(2*(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\)


Agora que se conhece os valores das probabilidades é possível resolver o Teorema de Bayes:

\(P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} = \frac{1/2 * 1/3}{1/2} = \frac{1}{3}\)

Dessa forma conclui-se que Astolfo estava enganado e sua chance de liberdade ainda é de 1/3.