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Boa tarde!!

Suponha que o erro na temperatura de reação (em graus centígrados) para um determinado experimento de laboratório, seja a variável aleatória X com função densidade de probabilidade:

\(f(x)=\left \{ \frac {x^{2}}{3},\,se\,-1\leq x\leq 2\right. \\ f(x)=\left \{ 0, caso \,contrario \right.\)

(nao consegui fazer as condições de f(x) em 1 parenteses só no latex =/)

verifique:

1. se f(x) é uma função densidade de probabilidade
2. P(0 < X < 1)
3. E(X) e V(X)

Também não consegui.
Alguém pode ajudar?
Não consegui entender.

1. Sendo X uma v.a. contínua então mostra-se que, \(\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1\), pois, \(=\int_{-1}^{2}\frac{x^{2}}{3}dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}x^{2}dx=\frac{1}{3}\left [ \frac{x^{3}}{3} \right ]_{-1}^{2}=\frac{1}{9}\left [ 8+1 \right ]=1\)

2. \(P(0<X<1)=P(X<1)-P(X\leqslant 0)=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{3}dx=\frac{1}{9}\left [ x^{3} \right ]_{0}^{1}=\frac{1}{9}\)

3. Pela def. de valor médio de uma v.a., \(E(X)=\int_{-1}^{2}x\frac{x^{2}}{3}dx=\int_{-1}^{2}\frac{x^{3}}{3}dx=\frac{1}{3}\left [ \frac{x^{4}}{4} \right ]_{-1}^{2}=\frac{1}{12}\left [ 16-1 \right ]=\frac{15}{12}\)
e pela def. de variância de uma v.a.,

\(V(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=\int_{-1}^{2}x^{2}\frac{x^{2}}{3}dx-\left ( \frac{15}{12} \right )^{2}=\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}x^{4}dx-\left ( \frac{15}{12} \right )^{2}=\frac{1}{3}\left [ \frac{x^{5}}{5} \right ]_{-1}^{2}-\left ( \frac{15}{12} \right )^{2}=\frac{1}{15}\left [ 32+1 \right ]-\left ( \frac{15}{12} \right )^{2}=\left (\frac{33}{15}\right )-\left ( \frac{15}{12} \right )^{2}\)

Bom estudo

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F. Martins