Fórum de Matemática
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Em uma escola os alunos estudam 3 idiomas: inglês, espanhol e alemão.

100 fazem inglês
100 fazem espanhol
45 fazem alemão
60 fazem inglês e espanhol
20 fazem inglês e alemão
20 fazem espanhol e alemão
15 fazem inglês, espanhol e alemão
Todos os alunos estudam pelo menos um desses 3 idiomas.
O número total de alunos dessa escola, que estudam um e somente um desses 3 idiomas é igual a:
a)70
b)85
c)90
d)95
e)100

Boa noite!

Montando os dados do problema:
\(n(I)=100
n(E)=100
n(A)=45
n(I\cap E)=60
n(I\cap A)=20
n(E\cap A)=20
n(I\cap E\cap A)=15\)

Temos a seguinte relação:
\(n(I\cup E\cup A)=n(I)+n(E)+n(A)-n(I\cap E)-n(I\cap A)-n(E\cap A)+n(I\cap E\cap A)\\
n(I\cup E\cup A)=100+100+45-60-20-20+15\\
n(I\cup E\cup A)=160\)

Agora o problema pede os alunos que estudam SOMENTE 1 idioma (ou inglês, ou espanhol ou alemão)
Somente Inglês = \(n(I)-n(I\cap E)-n(I\cap A)+n(I\cap E\cap A)=100-60-20+15=35\)
Somente Espanhol = \(n(E)-n(I\cap E)-n(E\cap A)+n(I\cap E\cap A)=100-60-20+15=35\)
Somente Alemão = \(n(A)-n(I\cap A)-n(E\cap A)+n(I\cap E\cap A)=45-20-20+15=20\)

Então, o total de alunos que falam SOMENTE uma língua:
\(35+35+20=90\)

Este número poderia ter sido obtido de outra forma:
\(n(I\cup E\cup A)-n(I\cap E)-n(I\cap A)-n(E\cap A)+2n(i\cap E\cap A)=160-60-20-20+2\times 15=90\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles