Densidade de Probabilidade

[rykardu]

Num jogo de aposta o valor que o jogador leva (X) em cada dia é uma variável aleatória com uma função densidade de probabilidade (função linear com o eixo X variando de 0 a 40 e Y variando de 0 a Y). Ao final de cada dia, a o valor Y com a qual o apostador fica é uniformemente distribuída entre 0 e duas vezes a quantidade que ele levou.

a) Determine a função densidade de probabilidade conjunta de x e y.

Resp: Para utilizar a propriedade de que as variáveis aleatórias x e y possuírem densidade de probabilidade conjunta a
Integral dupla fX,Y (x, y)dxdy tem que ser = 1.

Estou considerando que a função densidade é (abaixo), mas não confere com a propriedade.

\(p_{xy}(X,Y)= \left\{\begin{matrix}2x-y
& x\leq 40;0\leq y\leq 80\\0
& outros
\end{matrix}\right.\)

então...


\(\int_{0}^{40}\int_{0}^{80}(2x-y)dydx\)

[josesousa]

O que integrará será algo como a(2x-y) sendo a tal que o integral considerado tenha por valor 1.

[rykardu]

Prezado J.Souza,

Desculpa a demora no retorno.

Grato, então ficamos:
\(p_{xy}(X,Y)=\left\{\begin{matrix}a(2x-y), 0\leq X\leq 40;0\leq Y\leq 2x
\\ 0, para outros
\end{matrix}\right.\)

Continuando a pergunta temos:
(b) Qual é a probabilidade de que em uma noite qualquer, o jogador tenha um lucro positivo no cassino. Justifique o seu raciocínio.

Então podemos considerar essa probabilidade como a diferença entre a área total da função (2x-y) variando x de 0 a 40 e y de 0 a 2x, e a área da função (x-y) variando x de 0 a 40 e y de 0 a x?

\(p_{xy}(X,Y)=\left\{\begin{matrix}(2x-y), 0\leq X\leq 40;0\leq Y\leq 2x
\\ 0, para outros
\end{matrix}\right.\) = 128000/3

menos

\(p_{xy}(X,Y)=\left\{\begin{matrix}(x-y), 0\leq X\leq 40;0\leq Y\leq x
\\ 0, para outros
\end{matrix}\right.\) = 64000/6

isso mesmo?