Solução de Probabilidade e Analise Combinatória

[Cesar]

Pessoal, favor se possível ajudem.

Suponha que um total de 789.654 famílias residia em um bairro em São Paulo Capital e 563.282 delas possuem casas próprias. Uma amostra de 240 famílias é selecionada a partir desse bairro e 158 delas possuem casa própria. Encontre a proporção de famílias na amostra, que possuem casa própria.

a) E se a amostra fosse 560 famílias selecionadas e 270 com casa própria.

b) E se a amostra fosse 1.423 famílias selecionadas e 861 com própria.


Agradecimentos.

[jorgeluis]

proporção de familias na amostra q possuem casa propria: 158/240

n = Z² x [ P x (1-P) ] / E² onde n=tamanho da amostra, Z=nivel de confiança (=1,96 p/ \(\alpha\)=5% e ic=95%), P=proporção, E=erro amostral

E² = 1/240 = 0,004 (aproxim.)

158 = 1,96² x [ P x (1-P) ] / 0,004
0,6583 = 3,8416 x [ P x (1-P) ]
[ P x (1-P) ] = 0,1714
P = 0,22 ou 22% aproxim.

a)
proporção de familias na amostra q possuem casa propria: 270/560

n = Z² x [ P x (1-P) ] / E² onde n=tamanho da amostra, Z=nivel de confiança (=1,96 p/ \(\alpha\)=5% e ic=95%), P=proporção, E=erro amostral

E² = 1/560 = 0,002 (aproxim.)

270 = 1,96² x [ P x (1-P) ] / 0,002
0,4821 = 3,8416 x [ P x (1-P) ]
[ P x (1-P) ] = 0,1255
P = 0,15 ou 15% aproxim.

b)
proporção de familias na amostra q possuem casa propria: 861/1423

n = Z² x [ P x (1-P) ] / E² onde n=tamanho da amostra, Z=nivel de confiança (=1,96 p/ \(\alpha\)=5% e ic=95%), P=proporção, E=erro amostral

E² = 1/1423 = 0,0007 (aproxim.)

861 = 1,96² x [ P x (1-P) ] / 0,0007
0,6027 = 3,8416 x [ P x (1-P) ]
[ P x (1-P) ] = 0,1569
P = 0,195 ou 19,5% aproxim.

[jorgeluis]

corrigindo...

proporção de familias na amostra q possuem casa propria: 158/240

corrigindo o tamanho da amostra:

n = N x n_o / N + n_o onde n=tamanho da amostra corrigido, N=tamanho da população, n_o=primeira aproximaçao do tamanho da amostra

n = 563282 x 158 / 563282 + 158
n = 88998556 / 563440
n = 157,95

n = Z² x [ P x (1-P) ] / E² onde n=tamanho da amostra, Z=nivel de confiança (=1,96 p/ \(\alpha\)=5% e ic=95%), P=proporção, E=erro amostral

E² = 1/n_o = 1/158 = 0,006 (aproxim.)

157,95 = 1,96² x [ P x (1-P) ] / 0,006
0,9477 = 3,8416 x [ P x (1-P) ]
[ P x (1-P) ] = 0,2466
P = 0,44 ou 44% aproxim.

a)
proporção de familias na amostra q possuem casa propria: 270/560

corrigindo o tamanho da amostra:

n = N x n_o / N + n_o onde n=tamanho da amostra corrigido, N=tamanho da população, n_o=primeira aproximaçao do tamanho da amostra

n = 563282 x 270 / 563282 + 270
n = 152086140 / 563552
n = 269,87

n = Z² x [ P x (1-P) ] / E² onde n=tamanho da amostra, Z=nivel de confiança (=1,96 p/ \(\alpha\)=5% e ic=95%), P=proporção, E=erro amostral

E² = 1/n_o = 1/270 = 0,003 (aproxim.)

269,87 = 1,96² x [ P x (1-P) ] / 0,003
0,8096 = 3,8416 x [ P x (1-P) ]
[ P x (1-P) ] = 0,2107
P = 0,3 ou 30% aproxim.

b)
proporção de familias na amostra q possuem casa propria: 861/1423

corrigindo o tamanho da amostra:

n = N x n_o / N + n_o onde n=tamanho da amostra corrigido, N=tamanho da população, n_o=primeira aproximaçao do tamanho da amostra

n = 563282 x 861 / 563282 + 861
n = 484985802 / 564143
n = 859,68

n = Z² x [ P x (1-P) ] / E² onde n=tamanho da amostra, Z=nivel de confiança (=1,96 p/ \(\alpha\)=5% e ic=95%), P=proporção, E=erro amostral

E² = 1/n_o = 1/861 = 0,001 (aproxim.)

859,68 = 1,96² x [ P x (1-P) ] / 0,001
0,8597 = 3,8416 x [ P x (1-P) ]
[ P x (1-P) ] = 0,2238
P = 0,34 ou 34% aproxim.

[Paola]

Jorge Luis, obrigada pela resolução do exercício proposto.
No entanto, não entendi o porque da necessidade de se corrigir os números da amostra...

[jorgeluis]

Paola,
realmente, não tem necessidade de corrigir o tamanho da amostra, mesmo porque a diferença é mínima. Fiz a correção, porque normalmente ocorre aproximação do tamanho da amostra, daí a necessidade de correção, mas nessas questões a diferença é imperceptível.
Acredito que você possa ignorar e usar a amostra propriamente dita em cada questão.

[Paola]

Jorge, obrigado novamente pelo retorno. Mas ainda que os valores das amostras (corrigida e não corrigida) sejam muito próximos, o resultado final é muito diferente. Por que isso acontece?