Função distribuição e função densidade Beta-Pert - Geração de números pseudo-aleatórios
23 nov 2015, 18:35
Boa tarde. Fiz uma pergunta há uns dias atrás, mas quando recebi a resposta notei que não explanei minha verdadeira dúvida.
Estou num impasse, pois tenho dois algoritmos, um que simula a distribuição triangular para uma quantidade y de números aleatórios, e que simula a distribuição PERT-BETA a mesma quantidade y de números aleatórios .
Sobre os números aleatórios é aplicada uma função de distribuição, de forma a se obter uma distribuição triangular. Para isso, é feito o cálculo da frequência de classes.
Porém, para se obter a distribuição beta, usa-se uma função de densidade, que retorna diretamente a frequência de cada número aleatório na distribuição, como se cada número já fosse uma classe.
Sendo assim, há duas estratégias diferentes, uma com a função de distribuição e outra com função de densidade. Apesar de ter uma ideia da diferença entre as duas, não achei uma definição formal. Alguém pode me ajudar? Qual é a definição de função de densidade e qual é a definição de função de distribuição?
É possível gerar uma distribuição BETA a partir de uma função de distribuição?
Estou num impasse, pois tenho dois algoritmos, um que simula a distribuição triangular para uma quantidade y de números aleatórios, e que simula a distribuição PERT-BETA a mesma quantidade y de números aleatórios .
Sobre os números aleatórios é aplicada uma função de distribuição, de forma a se obter uma distribuição triangular. Para isso, é feito o cálculo da frequência de classes.
Porém, para se obter a distribuição beta, usa-se uma função de densidade, que retorna diretamente a frequência de cada número aleatório na distribuição, como se cada número já fosse uma classe.
Sendo assim, há duas estratégias diferentes, uma com a função de distribuição e outra com função de densidade. Apesar de ter uma ideia da diferença entre as duas, não achei uma definição formal. Alguém pode me ajudar? Qual é a definição de função de densidade e qual é a definição de função de distribuição?
É possível gerar uma distribuição BETA a partir de uma função de distribuição?
Re: Função de distribuição e função de densidade
24 nov 2015, 12:10
A função de distribuição retorna a probabilidade acumulada até certo ponto, concretamente, se f(x) for uma densidade de probabilidade contínua em \(\mathbb{R}\), então a função distribuição será dada por
\(F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt.\)
\(F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt.\)
Re: Função de distribuição e função de densidade
24 nov 2015, 20:02
Olá SamuelDvn
Para gerar números pseudo-aleatórios a partir de uma função distribuição, um dos procedimentos comumente usados é o seguinte:
1.º Gerar um número q pseudo-aleatório da distribuição contínua Uniforme([0,1])
2.º Tendo presente a função distribuição desejada F(x) (uma função invertível (*)), aplicá-la a q , ficando \(F^{-1}(q)\)
com um número pseudo-aleatório gerado a partir de F(x).
A distribuição de Beta(m,n,a,b), tem a seguinte função densidade,
\(\frac{1}{B(m,n)}\frac{(x-a)^{m-1}(b-x)^{n-1}}{(b-a)^{m+n+1}}\) onde B(m,n) representa a função Beta.
O caso da distribuição de Beta-Pert, é uma particularização da função distribuição de BETA. Pode obter-se, PERT(a, b, Mo,\(\lambda\) ) = Beta(m, n, a, b), onde, Mo = moda da distribuição Beta-Pert, \(\lambda\) é um parâmetro de escala adicional representando a altura da distribuição.
Onde,
\(\mu=\frac{a+b+\lambda M_{o}}{(\lambda +2)}\)
\(m=\frac{(\mu -a)(2M_{o}-a-b)}{(M_{o}-\mu )(b-a)}\)
\(n=\frac{m(b-\mu )}{(\mu -a)}\)
Logo, para gerar aleatoriamente neste 2.º passo, uma amostra, deve escolher-se previamente os parâmetros, a, b, Mo,\(\lambda\), calcular os parâmetros da distribuição Beta, m, n, a, b, e aplicar \(F^{-1}(q)\).
Não é simples, mas também não é muito complicado.
(*) Veja também os comentários abaixo.
Para gerar números pseudo-aleatórios a partir de uma função distribuição, um dos procedimentos comumente usados é o seguinte:
1.º Gerar um número q pseudo-aleatório da distribuição contínua Uniforme([0,1])
2.º Tendo presente a função distribuição desejada F(x) (uma função invertível (*)), aplicá-la a q , ficando \(F^{-1}(q)\)
com um número pseudo-aleatório gerado a partir de F(x).
A distribuição de Beta(m,n,a,b), tem a seguinte função densidade,
\(\frac{1}{B(m,n)}\frac{(x-a)^{m-1}(b-x)^{n-1}}{(b-a)^{m+n+1}}\) onde B(m,n) representa a função Beta.
O caso da distribuição de Beta-Pert, é uma particularização da função distribuição de BETA. Pode obter-se, PERT(a, b, Mo,\(\lambda\) ) = Beta(m, n, a, b), onde, Mo = moda da distribuição Beta-Pert, \(\lambda\) é um parâmetro de escala adicional representando a altura da distribuição.
Onde,
\(\mu=\frac{a+b+\lambda M_{o}}{(\lambda +2)}\)
\(m=\frac{(\mu -a)(2M_{o}-a-b)}{(M_{o}-\mu )(b-a)}\)
\(n=\frac{m(b-\mu )}{(\mu -a)}\)
Logo, para gerar aleatoriamente neste 2.º passo, uma amostra, deve escolher-se previamente os parâmetros, a, b, Mo,\(\lambda\), calcular os parâmetros da distribuição Beta, m, n, a, b, e aplicar \(F^{-1}(q)\).
Não é simples, mas também não é muito complicado.
(*) Veja também os comentários abaixo.
Re: Função de distribuição e função de densidade
24 nov 2015, 20:36
Estou um pouco esquecido destas coisas, mas acho que o método não será bem como descreve... Se Y tem distribuição uniforme em [0,1] e F(.) é a função de distribuição de uma v.a. \(X\), então \(F^{-1} (Y)\) tem a mesma distribuição que \(X\). Assim, na sua descrição do método, após gerar o número aleatório q, deve aplicar a inversa da distribuição, não a distribuição. Os números \(F^{-1}(q)\) é que teriam distribuição F.
Re: Função de distribuição e função de densidade
24 nov 2015, 22:58
Olá Sobolev
Bem notado, amigo! Foi meu engano, pois é claro.
Existe esta bijecção (que é a função distribuição F(x) ), que estabelece a relação, ponto-a-ponto entre [a,b] e [0,1].
Tem-se portanto,
\(P(X\leq x)=F(x)=p,\forall x\epsilon [a,b]\Leftrightarrow q_{p}=F^{-1}(p)=x ,\forall p\epsilon [0,1]\)
onde, \(q_{p}\) é o quantil de probabilidade p..
\(\therefore\) Quando geramos um número p em [0,1], teremos imediatamente \(x=F^{-1}(p)\epsilon [a,b]\), com lei de distribuição Beta-Pert(m,n,a,b) .
Boa Sobolev! Grato pela correcção.
Bem notado, amigo! Foi meu engano, pois é claro.
Existe esta bijecção (que é a função distribuição F(x) ), que estabelece a relação, ponto-a-ponto entre [a,b] e [0,1].
Tem-se portanto,
\(P(X\leq x)=F(x)=p,\forall x\epsilon [a,b]\Leftrightarrow q_{p}=F^{-1}(p)=x ,\forall p\epsilon [0,1]\)
onde, \(q_{p}\) é o quantil de probabilidade p..
\(\therefore\) Quando geramos um número p em [0,1], teremos imediatamente \(x=F^{-1}(p)\epsilon [a,b]\), com lei de distribuição Beta-Pert(m,n,a,b) .
Boa Sobolev! Grato pela correcção.
Re: Função distribuição e função densidade Beta-Pert - Geração de números pseudo-aleatórios
27 nov 2015, 18:47
Na verdade meu problema não usa números pseudo-aleatórios. Essa não é a questão.
Ele pega os valores ao partir de um servidor que gera números verdadeiramente randômicos.
A função inversa não me ajudou muito. Vou melhorar minha pergunta:
Para a distribuição triangular, estou usando:
\(d(x)=\begin{cases}
a + \sqrt{x(b-a)(c-a)} & \text{ se } a \leq x < m \\
b-\sqrt{(1-x)(b-a)(b-c)} & \text{ se } m \leq x\leq b
\end{cases}\)
como função de distribuição
Porém, a função de densidade da distribuição triangular é
\(p(x)=\begin{cases}
\dfrac{2(x-a)}{(b-a)(m-a)} & \text{ se } a \leq x \leq m \\
\dfrac{2(b-x)}{(b-a)(b-m)} & \text{ se } m < x\leq b
0 & \text{ senao }
\end{cases}\)
Para a distribuição beta, só encontrei a função
\(\frac{1}{B(m,n)}\frac{(x-a)^{m-1}(b-x)^{n-1}}{(b-a)^{m+n+1}}\) onde \(B(m,n)\) representa a função Beta.
Essa função é, de acordo como analisei e entendi, a função de densidade da distribuição beta. Porém não achei até agora uma função para a distribuição beta que possuísse o mesmo comportamento que a função de distribuição triangular.
Ele pega os valores ao partir de um servidor que gera números verdadeiramente randômicos.
A função inversa não me ajudou muito. Vou melhorar minha pergunta:
Para a distribuição triangular, estou usando:
\(d(x)=\begin{cases}
a + \sqrt{x(b-a)(c-a)} & \text{ se } a \leq x < m \\
b-\sqrt{(1-x)(b-a)(b-c)} & \text{ se } m \leq x\leq b
\end{cases}\)
como função de distribuição
Porém, a função de densidade da distribuição triangular é
\(p(x)=\begin{cases}
\dfrac{2(x-a)}{(b-a)(m-a)} & \text{ se } a \leq x \leq m \\
\dfrac{2(b-x)}{(b-a)(b-m)} & \text{ se } m < x\leq b
0 & \text{ senao }
\end{cases}\)
Para a distribuição beta, só encontrei a função
\(\frac{1}{B(m,n)}\frac{(x-a)^{m-1}(b-x)^{n-1}}{(b-a)^{m+n+1}}\) onde \(B(m,n)\) representa a função Beta.
Essa função é, de acordo como analisei e entendi, a função de densidade da distribuição beta. Porém não achei até agora uma função para a distribuição beta que possuísse o mesmo comportamento que a função de distribuição triangular.
Re: Função distribuição e função densidade Beta-Pert - Geração de números pseudo-aleatórios
27 nov 2015, 18:55
No meu algoritmo, dados os números aleatórios, para a distribuição triangular faço:
1 - a distribuição dos números com a função de distribuição;
2 - o calculo de frequência (densidade) das classes;
3 - e por fim o calculo da frequência acumulada;
4 - depois gero o gráfico.
Há também a opção de se usar a função de densidade e assim juntar os passos 1 e 2 em um único
Já na distribuição beta, como não encontrei a função de distribuição, só tenho a opção de usar a função de densidade, então o passo a passo ficou:
1 - o calculo de frequência (densidade) dos números;
2 - o calculo da frequência acumulada;
3 - depois gero o gráfico.
Queria encontrar a definição formal das duas funções (densidade e distribuição), e também saber qual é a função de distribuição da distribuição beta.
1 - a distribuição dos números com a função de distribuição;
2 - o calculo de frequência (densidade) das classes;
3 - e por fim o calculo da frequência acumulada;
4 - depois gero o gráfico.
Há também a opção de se usar a função de densidade e assim juntar os passos 1 e 2 em um único
Já na distribuição beta, como não encontrei a função de distribuição, só tenho a opção de usar a função de densidade, então o passo a passo ficou:
1 - o calculo de frequência (densidade) dos números;
2 - o calculo da frequência acumulada;
3 - depois gero o gráfico.
Queria encontrar a definição formal das duas funções (densidade e distribuição), e também saber qual é a função de distribuição da distribuição beta.
Re: Função distribuição e função densidade Beta-Pert - Geração de números pseudo-aleatórios [resolvida]
01 dez 2015, 16:23
Não existe uma expressão analítica para F(x) genérica. Se pretende calcular os valores F(xi) para um conjunto de valores simulados xi então terá de recorrer necessariamente ao cálculo através da expressão constante na primeira resposta do Sobolev. (Pode sempre fazer aproximações numéricas por somas de Riemann ou métodos numéricos).