Relações entre as médias aritimética e geométrica

[taliberti]

Gostaria de saber se existem relações entre as médias aritimética e geométrica

Exemplo: tenho 3 conjuntos de dados, A, B, e C. Todos os dados dos 3 conjuntos são maiores que 0. Ao se calcular as médias aritiméticas dos 3 conjuntos verificou-se que A>B>C. Gostaria de saber se as médias geométricas respeitarão essa classificação, ou seja, a média geométrica de A será maior que a de B que será maior que a de C; ou se existe a possibilidade de, por exemplo, a média geométrica de C ser maior que a de A ou B ou a de B ser maior que a de A.

[Fraol]

Boa tarde. A média aritmética em um conjunto de números postivos é sempre maior ou igual do que a média geométrica.

Se A>B>C forem médias aritméticas de três conjuntos e, respectivamente A', B' e C' forem as médias geométricas teremos:

A>A'
B>B'
C>C'


Então se for mantida a relação que você citou, A>B>C, não haverá jeito de B' ou C' serem maiores do que A.

[Sobolev]

Penso que o que Taliberti quer saber é se será verdade que

\(A > B \Rightarrow A'>B'\)

Concordo com o Fraol quando diz que B' ou C' não poderão ser maiores do que A... Mas poderão ser maiores que A' ? Ainda há alguma coisa a demonstrar...

Realmente, em geral, uma desigualdade entre as médias aritméticas não é necessariamente verificada entre as médias geométricas. Considere por exemplo

\(A = \{\frac 14, 4\} \qquad B = \{\frac 12 , 2 \}\)

Apesar de as médias aritméticas serem diferentes, as médias geométricas são iguais... Mas a desigualdade pode mesmo inverter-se, como no caso


\(A = \{0.25, 3.75\} \qquad B = \{\frac 12 , 2 \}\)

[taliberti]

Obrigado pelas respostas. Mas realmente o que eu queria saber mesmo é: se A>B>C, então A'>B'>C'. Fiz uns testes na mão mesmo e cheguei a conclusão que a hipótese é falsa. Senão, vejamos: A = {4,5; 1,8687; 1,0133; 1,4382; 0,9495; 1,8687; 1,4082} e B = {3,0036; 2,6457; 1,4197; 1,1969; 2,4581; 1,2214; 0,7951}. Calculando-se as médias: A = 1,8638; A' = 1,6304; B = 1,8201 e B' = 1,6424. No exemplo, A>B e B'>A. Portanto, nem sempre quando A>B>C, A'>B'>C'.

[taliberti]

Obrigado pelas respostas. Mas realmente o que eu queria saber mesmo é: se A>B>C, então A'>B'>C'. Fiz uns testes na mão mesmo e cheguei a conclusão que a hipótese é falsa. Senão, vejamos: A = {4,5; 1,8687; 1,0133; 1,4382; 0,9495; 1,8687; 1,4082} e B = {3,0036; 2,6457; 1,4197; 1,1969; 2,4581; 1,2214; 0,7951}. Calculando-se as médias: A = 1,8638; A' = 1,6304; B = 1,8201 e B' = 1,6424. No exemplo, A>B e B'>A'. Portanto, nem sempre quando A>B>C, A'>B'>C'.

[taliberti]

Corrigindo os dois comentários acima, o correto é esse:

Obrigado pelas respostas. Mas realmente o que eu queria saber mesmo é: se A>B>C, então A'>B'>C'. Fiz uns testes na mão mesmo e cheguei a conclusão que a hipótese é falsa. Senão, vejamos: A = {4,5; 1,8687; 1,0133; 1,4382; 0,9495; 1,8687; 1,4082} e B = {3,0036; 2,6457; 1,4197; 1,1969; 2,4581; 1,2214; 0,7951}. Calculando-se as médias: A = 1,8638; A' = 1,6304; B = 1,8201 e B' = 1,6424. No exemplo, A>B e B'>A[size=200][/size]'. Portanto, nem sempre quando A>B>C, A'>B'>C'.

[taliberti]

O correto é esse:

Obrigado pelas respostas. Mas realmente o que eu queria saber mesmo é: se A>B>C, então A'>B'>C'. Fiz uns testes na mão mesmo e cheguei a conclusão que a hipótese é falsa. Senão, vejamos: A = {4,5; 1,8687; 1,0133; 1,4382; 0,9495; 1,8687; 1,4082} e B = {3,0036; 2,6457; 1,4197; 1,1969; 2,4581; 1,2214; 0,7951}. Calculando-se as médias: A = 1,8638; A' = 1,6304; B = 1,8201 e B' = 1,6424. No exemplo, A>B e B'>A'. Portanto, nem sempre quando A>B>C, A'>B'>C'.

[Sobolev]

Foi isso que expliquei no meu post anterior... O último exemplo mostra que a afirmação é falsa. Bom estudo!