Intervalo de Confiança para o valor médio com variância desconhecida

[O_Guh]

Boa noite...

Uma equipe de ambientalistas, toma uma amostra de tamanho n = 100, após analisar uma série de ocorrências no Rio Vilas Boas que abastece várias cidades. As análises deverão indicar se o grau de contaminação do rio está superior ao padrão estabelecido pela Agência de Prevenção XWE de 6,6 ppm.
Os dados indicam que a média amostral foi de 6,483 e seu desvio padrão de 3,614. Construindo um Intervalo de 95% Confiança para alcançar µ, encontraremos:

a) Como o Intervalo de Confiança para o valor µ, com 95% de confiança é [8,795 ; 6,543]. Em outras palavras, pode-se afirmar com 5% de confiança que há contaminação no rio.
b) Como o Intervalo de Confiança para o valor µ, com 95% de confiança é [7,1913 ; 5,775]. Em outras palavras, pode-se afirmar com 95% de confiança que há contaminação no rio.
c) Como o Intervalo de Confiança para o valor µ, com 95% de confiança é [7,1913 ; 5,775]. Em outras palavras, pode-se afirmar com 95% de confiança que não existe contaminação no rio.
d) Como o Intervalo de Confiança para o valor µ, com 95% de confiança é [8,795 ; 6,543]. Em outras palavras, pode-se afirmar com 95% de confiança que não há contaminação no rio.
e) Como o Intervalo de Confiança para o valor µ, com 95% de confiança é [5,609 ; 6,543]. Em outras palavras, pode-se afirmar com 95% de confiança que não há contaminação no rio.

Grato.

[FernandoMartins]

A resposta é b)

Como a distribuição para a média amostral de X, depende dos pressupostos:

- X segue distribuição normal;
- desvio-padrão de X é desconhecido (\(\hat{\sigma }=s'\))

Então, \(\frac{\bar{X}-\mu }{s'}\sqrt{n}\sim t_{n-1}\)

Logo, substituindo os parâmetros pelos valores conhecidos, vem,

\(\frac{\bar{X}-6.483 }{3.614}\sqrt{100}\sim t_{99}\)

Vem assim o intervalo de confiança: \(P(\mu \in ]\bar{x}\pm t_{n-1;1-\frac{\alpha }{2}}\frac{s'}{\sqrt{n}}[)=1-\alpha\)

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