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MensagemEnviado: 16 jul 2018, 15:31 
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Uma variável aleatória X possui uma distribuição de probabilidades representada pela distribuição Normal padrão. Sabendo-se que Y=X^2. Qual é a distribuição de probabilidades de Y?

Nâo sei como abordar o problema.
Grato pela atenção.


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MensagemEnviado: 17 jul 2018, 09:14 
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Apenas tem que usar a definição de função de distribuição... \(F(y) = P(Y \leq y)\). Pode começar por notar que, como \(Y \ge 0\) e \(Y=0\) apenas quando \(X=0\), tem que \(F(y)=0\) para \(y \leq 0\). Se \(y>0\), temos que

\(P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y})- \Phi(-\sqrt{y})\)

onde \(\Phi\) é a função de distribuição de uma normal standard. Assim, a distribuição pedida é dada por

\(F(y)=\begin{cases} 0 &, y \leq 0\\ \Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y}) &, y >0\end{cases}\)

Segue gráfico onde aparecem as duas distribuições.


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