Qual é a distribuição de probabilidades de Y=N(0,1)^2?
16 jul 2018, 15:31
Uma variável aleatória X possui uma distribuição de probabilidades representada pela distribuição Normal padrão. Sabendo-se que Y=X^2. Qual é a distribuição de probabilidades de Y?
Nâo sei como abordar o problema.
Grato pela atenção.
Nâo sei como abordar o problema.
Grato pela atenção.
Re: Qual é a distribuição de probabilidades de Y=N(0,1)^2? [resolvida]
17 jul 2018, 09:14
Apenas tem que usar a definição de função de distribuição... \(F(y) = P(Y \leq y)\). Pode começar por notar que, como \(Y \ge 0\) e \(Y=0\) apenas quando \(X=0\), tem que \(F(y)=0\) para \(y \leq 0\). Se \(y>0\), temos que
\(P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y})- \Phi(-\sqrt{y})\)
onde \(\Phi\) é a função de distribuição de uma normal standard. Assim, a distribuição pedida é dada por
\(F(y)=\begin{cases} 0 &, y \leq 0\\ \Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y}) &, y >0\end{cases}\)
Segue gráfico onde aparecem as duas distribuições.
\(P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y})- \Phi(-\sqrt{y})\)
onde \(\Phi\) é a função de distribuição de uma normal standard. Assim, a distribuição pedida é dada por
\(F(y)=\begin{cases} 0 &, y \leq 0\\ \Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y}) &, y >0\end{cases}\)
Segue gráfico onde aparecem as duas distribuições.
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