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Olá, alguém poderia me ajudar com a resolução dessa questão, estou com muitas dúvidas. Desde já agradeço.

Suponha que a renda média de uma determinada categoria profissional segue uma distribuição normal com variância de (R$ 25,00)2. Uma amostra aleatória de
20 profissionais apresentou uma renda média de R$ 1.150,00.

a. Construa o IC (95%) para a renda;

b. Suponha que desejamos ser 95% confiantes de que o erro de estimação da renda média é menor que R$ 5,00. Qual tamanho amostral deveria ter sido usado?

c. Suponha que desejamos que o comprimento total do IC da vida média ser menor que R$ 6,00 sendo 95% confiantes. Qual tamanho amostral deveria ter sido usado?

Olá Franciso

Supondo que a Renda ~ distribuição normal com variância R$ 25^2. Uma amostra aleatória de
n= 20 profissionais apresentou uma renda média de R$ 1150.

a. Construa o IC (95%) para o valor médio da Renda;

Nas condições do enunciado, (variância conhecida, dist. normal e \(1-\alpha=0.95\)), vem o I.C. a 95% para \(\mu\):

\(P(\mu\in ]\bar{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}[)=0.95\)
i.e.
\(P(\mu\in ]1150\pm z_{0.975}\frac{25}{\sqrt{20}}[)=0.95\)

o que é equivalente a dizer, com z(0.975)=1.96

\(P(\mu\in ]1150\pm 1.96\frac{25}{\sqrt{20}}[)=0.95\)

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\(\therefore P(\mu\in ]1160,96;1139,04[)=0.95\)

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F. Martins

b. Suponha que desejamos ser 95% confiantes de que o erro de estimação da renda média é menor que R$ 5,00. Qual tamanho amostral deveria ter sido usado?

O erro de estimação (\(\varepsilon\)) do I.C. deverá ser inferior a 5. Então, como esse erro é dado por:

\(\varepsilon =z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<5\Leftrightarrow n>\left ( z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{5} \right )^{2}=96.04\Leftrightarrow n\geq 97\)

c. Suponha que desejamos que o comprimento total do IC da vida média ser menor que R$ 6,00 sendo 95% confiantes. Qual tamanho amostral deveria ter sido usado?

O comprimento total do I.C. ou amplitude (\(\Delta\)) deverá ser inferior a 6. Então, como a amplitude é dada por:

\(\Delta =2z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<6\Leftrightarrow n>\left (2z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{6} \right )^{2}=266.8\Leftrightarrow n\geq 267\)

Bom estudo!

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