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A questão é a seguinte:

Em um determinada cervejaria o pH médio da cerveja produzida é distribuído normalmente com média 4.3, mas com desvio padrão de 3.0, devido à variação da qualidade das matérias primas, inclusive da água. O controle de qualidade da empresa testa a cada hora o pH de 100 garrafas escolhidas ao acaso e não pode liberar os lotes que estejam fora do limite de pH (entre 4,0 e 5,0).
Nestas condições qual a probabilidade que um lote de cerveja de 100 unidades seja aprovado?

Olá Fabiano Brito

Qual é a distribuição amostral da Média para n>20 e desvio-padrão conhecido?

Se chamares X_100 a essa variável aleatória com n=100 e calculares P(4,0 < X_100 < 5,0) que valor resultará?

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F. Martins

Sendo X = v.a. que mede o pH da cerveja produzida pelo fabricante designado

Pressupostos:
* \(\sigma\) conhecido
* n = 100 >= 30
* X segue distribuição \(Normal(\mu = 4.3 ,\sigma= 3.0 )\)

Nestas condições, tem-se:

\(\bar{X}_{n}\overset{\underset{\mathrm{\sim}}{\cdot}}{\,}Normal(\mu,\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\) e portanto, \(\bar{X}_{100}\overset{\underset{\mathrm{\sim}}{\cdot}}{\,}Normal(4.3,\frac{3.0}{\sqrt{100}})=Normal(4.3,0.3)\)

Então, a probabilidade a calcular é

\(P\left(4.0\leq \bar{X}_{100}\leq 5.0 \right)= P\left( 1.0\leq Z\leq 2.33 \right)=\phi_{z}(2.33)-\phi_{z}(1)\)

Podendo estes últimos valores ser encontrados em tabela de distribuição normal, em qualquer literatura corrente de Probabilidades ou Estatística.

Bom estudo

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F. Martins