Função Densidade Conjunta f(x,y)=x+y

[rodgaudio]

(X, Y) é um par aleatório, do tipo contínuo, que possui
função densidade conjunta dada por:
f (x,y) = x + y; tal que
0 ≤ x ≤ 1,0 e 0 ≤ y ≤ 1,0 .
Desta forma, a variância de Y será de:
(A) 13/144;
(B) 11/144;
(C) 21/144;
(D) 13/258;
(E) 0,875.

E ai galera, alguém sabe resolver essa? Resposta letra B.

[Sobolev]

Em primeiro lugar deve determinar a densidade marginal

\(f_Y(y)= \int_0^1 (x+y) \, dx = \frac 12 +y\)

Deste modo,

\(E[Y] = \int_0^1 y f_Y(y)\,dy = \int_0^1 y (\frac 12 +y) dy = \frac{7}{12}\)

\(E[Y^2] = \int_0^1 y^2 f_Y(y)\,dy = \int_0^1 y^2 (\frac 12 +y) dy = \frac{5}{12}\)

Assim,

\(Var[Y] = E[Y^2] - E^2[Y] = \frac{5}{12} - \left(\frac{7}{12}\right)^2 = \frac{11}{144}\)

[rodgaudio]

Obrigado!