Fórum de Matemática
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Sendo lim [f(x)-f(p)]/x-p = L, com x -> p, calcule:

lim [f(p-h)-f(p)]/h
h->0

Este exercicio se encontra no livro do Guidorizzi, volume 1, seçao 3.5, questao 3, letra D

Olá ezau_primo, seja bem-vindo!

De acordo com o enunciado,

\(\displaystyle \mathbf{\lim_{x \to p} \dfrac{f(x) - f(p)}{x - p} = L}\)

Determinemos o resultado de:

\(\displaystyle \mathbf{\lim_{h \to 0} \dfrac{f(p - h) - f(p)}{h}}\)


Segue,

Inicialmente, tome \(\mathbf{p - h = x}\). Com efeito, \(\mathbf{h = - (x - p)}\).

Por conseguinte, temos que:

\(\displaystyle \mathbf{\lim_{h \to 0} \dfrac{f(p - h) - f(p)}{h} =}\)

\(\displaystyle \mathbf{\lim_{- (x - p) \to 0} \dfrac{f(x) - f(p)}{- (x - p)} =}\)

\(\displaystyle \mathbf{\lim_{x \to p} \dfrac{f(x) - f(p)}{(- 1) \cdot (x - p)} =}\)

\(\displaystyle \mathbf{\lim_{x \to p} (- 1) \cdot \dfrac{f(x) - f(p)}{x - p} =}\)

\(\displaystyle \mathbf{(- 1) \cdot \lim_{x \to p} \dfrac{f(x) - f(p)}{x - p} =}\)

\(\mathbf{(- 1) \cdot L =}\)

\(\boxed{\mathbf{- L}}\)


Espero ter ajudado!!

Bons estudos!!

_________________
Daniel Ferreira
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