Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 18 - Pág.: 810)
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^4}{x^2+y^8}\)

Resposta para o cálculo do limite: 0 (zero).

Coloquei a definição apenas para tentar clarear as ideias. Mas, se alguém conseguir responder por outro método, irá ajudar. Por exemplo, Teorema do Confronto, mudança de variável etc.

Definição de Limite de uma Função de Duas Variáveis (pelo menos): http://forumdematematica.org/download/file.php?id=1057 ou http://img713.imageshack.us/img713/8348/n1pj.jpg
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Pág.: 804)

Como faço para provar esse limite?

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Vide ultra
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\(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^4}{x^2+y^8}\)


vejamos uma mudança por coordenadas polares:

\(\\\\ x=r*cos\Theta \;\; , \;\;y=r*sen\Theta \;\; , \;\; (x,y)\rightarrow (0,0) \;\; , \;\; r\rightarrow 0^{+}\)


\(\\\\\\ \lim_{r\rightarrow 0^{+}} \;\;\frac{r*cos\Theta *r^{4}sen^{4}\Theta }{r^{2}*cos^{2}\Theta+r^{8}*sen^{8}\Theta } \\\\\\ \lim_{r\rightarrow 0^{+}} \;\; \frac{r^{3}cos\Theta *sen^{4}\Theta }{cos^{2}\Theta+r^{6}*sen^{8}\Theta }\)


\(\lim_{ r \rightarrow 0^{+}} \;\; (r^3*cos\theta*sen^{4}\theta)*\frac{1}{cos^2\theta+r^6*sen^{8}\theta}\)



Aqui o intuito é usar o teorema do função limitada, mas perceba que \(\frac{1}{cos^2\theta+r^6*sen^{8}\theta\) , não é limitada pois se \(\theta=\frac{\pi}{2}\) a função iria para \(\infty\), o que carateriza que a função não tem limite,pois para o limite existir não pode depender de \(\theta\)